今週の数値入力問題

底面積と高さが等しい円柱と円錐を比べたとき、円柱の体積は円錐の体積の何倍になるでしょう。

正解…３倍

解説

中学１年で習う内容の問題になりますが、まずは立方体を用意します。

一辺の長さをaとすると体積は、

a×a×a＝a3・・・①

です。

次に、立方体の重心となる所（ど真ん中）に点を打ちます。

次に、重心の点から各頂点（上下・左右・手前奥）に向かって線を引きます。

こうやって見てみると、全く同じ形の四角錐6つが立方体に対して綺麗に収まっていることが分かります。したがって四角錐1つの体積は、

a3×1/6・・・②

です。

次に公式化します。

四角錐の底面の1辺がaの正方形なので、底面積は、

a×a＝a2・・・③

高さが立方体の半分になっていますから、

a×1/2・・・④

底面積と高さを使って公式をつくるためには、

③×④×？＝②

の関係でなくてはなりませんから、それぞれ代入すると、

a2×a×1/2×？＝a3×1/6
a3×1/2×？＝a3×1/6
1/2×？＝1/6

この方程式を解くと、

？=1/3

が出てきます。これが錐の体積を求める公式に登場する1/3の正体であって、逆の言い方をすると、立方体の体積は角錐の体積の３倍であるということになるのです。なお、円錐でも同様です。

底面積が半径rだったとします。
このふたつの底面積の比は、

πr2：r2＝π：１

ですが、高さが全く同じところでそれぞれの錐を赤線で切ってみると、切った断面の底面積の比は常にπ:１で、体積の比率も全く同じということになります。
求めたい円錐の体積は、体積を求めた四角錐と高さが同じr/2であることに注目すると、

r3×1/6×π/1＝πr2×r×1/2×1/3＝πr3×1/6

これが②に相当することになります。

後は立方体と角錐を、円柱と円錐に当てはめれば良いだけなので、結局は３倍だということになるのです。

専らピタゴラスが専用の容器を作って、水が何杯入るかという実験をしたというエピソードがあります。