なぜ正解に行きつくのか。解いていく時の順序をたどりながら説明します。
書籍：考える力がつく算数脳パズル 整数なぞぺー<小学４～６年編>
著者：高濱正伸、川島慶 (花まる学習会)
出版社：草思社
問題タイトル：
どのとなりあう２ケタも７か１３の倍数 （対象学年５年生～）
問題：
１から９までの数が1回ずつ出てくる９ケタの整数があります。この整数の中からどのとなりあう２ケタの整数をとりだしても７か１３の倍数になります。
この９ケタの数を求めなさい。
□□□□□□□□□
１２３４５６７８９
考え方：
問題文を満たすように、数字を並べる問題のようですね。並べる条件を読み取ります。
①隣り合う２つの数 とは、２ケタの数字です。
その数が、「７の倍数」か「１３の倍数」になる。
②１～９を１回ずつ使う。
③９ケタ（□□□□□□□□□）に並べる。
どこから取り組むべきか考えてみます。
どんな問題もコツは、「全体」と「部分」を両方見て糸口になりそうなところを探すことです。
全体を見ると、９ケタの数を作る。これをいきなり考えるのは大変そう。②と③がそれです。
部分部分を見ているのは、①です。
②は、紙に数を並べて、チェックをつけていけば、使った／使ってないが一目で確認できます。
難しいことではありません。
③は、実際に書いて数字を並べて行くことができます。
問題用紙そのものですから、解きながら書いていけば一目で確認できそうです。
ということは、この問題の注目すべき条件は「部分」を見ている①のようです。
つまり、２ケタの数に対して問われてる問題のようです。
一見、９ケタの数を聞いているようですが、２ケタの数が、たまたま９つの数に並んでるだけ
と解釈できそうです。
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①の「７の倍数」、「１３の倍数」をどうやって、考えようか。
倍数は無限にありますが、２ケタの数なんです。つまり倍数の個数が限られてます。
糸口になりそう。いくつくらいあるのかな。
１００÷７＝１４・・・２
１００÷１３＝７・・・９
少なくとも７の倍数は１４個以下、１３の倍数は７個以下です。
これは、紙に書き出してみることができる量ですね。
書き出した数字から当てはまるものを選べばよいので、解ける糸口になりそうです。
実際に、１００までの７の倍数、１３の倍数を書き出してみます。
７の倍数： ７、１４、２１、２８、３５、４２、４９、５６、６３、７０、７７、８４、９１、９８
１３の倍数：１３、２６、３９、５２、６５、７８、９１
さらに、①、②の条件から、２ケタで、０を使わず、同じ数が並んでないことが条件です。
問題文の条件にあう、１００までの倍数は、それぞれ、
④ ７の倍数（１１個）：１４、２１、２８、３５、４２、４９、５６、６３、８４、９１、９８
⑤１３の倍数（ ７個）：１３、２６、３９、５２、６５、７８、９１
と、なります。
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さあ、この数字を使って、９ケタに並べます（③）
これができれば、①、②、③すべてを満たすので、問題が解けることになります。
９ケタの並び方のうち、どこから手をつけようか。
（説明しやすいように、番号（ＡＢＣＤＥＦＧＨＩ）を振ります。）
| □ | □ | □ | □ | □ | □ | □ | □ | □ |
| Ａ | Ｂ | Ｃ | Ｄ | Ｅ | Ｆ | Ｇ | Ｈ | Ｉ |
---------------------------------------------
特別な場所（他とは違う場所）はないでしょうか。
最初（Ａ）と最後（Ｉ）は、１つずつしかありません。
ここに入る数字がわかれば、④、⑤のリストから、芋づる式に数が埋まっていくかもしれません。
ＡかＩに入る数を考えてみることにします。
例えば、どういう数がＡに、入ることになるんでしょうか。 「１０の位になれる数」です。
同じように、Ｉには、どういう数が入ることになるんでしょうか。 「 １の位になれる数」です。
では、Ｂ～Ｈの条件は、「１０の位になれる数」でありながら「１の位になれる数」です。
並べてみましょう。
⑥Ａの条件：「１０の位になれる数」
⑦Ｉの条件：「 １の位になれる数」
⑧Ｂ～Ｈの条件：「１０の位になれる数」で「 １の位になれる数」
です。Ｂ～Ｈのほうが条件が厳しいんですね。
ということは、
特別な場所、Ａに入る数字は、Ｂ～Ｈ、Ｉに入れることができない数が、入るしかなさそうです。
同じように、Ｉに入る数字は、Ｂ～Ｈ、Ａに入れることができない数が、入るしかなさそうです。
では、「Ａに入るしかない数」を調べるために、「１の位に入れられない数」を見つける作業をします。
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④、⑤のリストから、書き出してみます。
⑨１の位に入る数一覧
| ７の倍数 | １３の倍数 | |
| １ ： | ２１、９１ | ９１ |
| ２ ： | ４２ | ５２ |
| ３ ： | ６３ | １３ |
| ４ ： | １４、８４ | |
| ５ ： | ３５ | ６５ |
| ６ ： | ５６ | ２６ |
| ７ ： | ||
| ８ ： | ２８、９８ | ７８ |
| ９ ： | ４９ | ３９ |
そうすると、７だけ１の位になれないことがわかります。
ということは、７は、⑦、⑧を満たさないため、⑥つまり、
７はＡに入れるしかありません。
念のため、７をＡに入れることができるんでしょうか。⑤に７８がありますね。
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１０の位に入る数の一覧を作って確認してみるのもいいでしょう。
こちらは作りやすいです。
⑩１０の位に入る数一覧
| ７の倍数 | １３の倍数 | |
| １ ： | １４ | １３ |
| ２ ： | ２１、２８ | ２６ |
| ３ ： | ３５ | ３９ |
| ４ ： | ４２、４９ | |
| ５ ： | ５６ | ５２ |
| ６ ： | ６３ | ６５ |
| ７ ： | ７８ | |
| ８ ： | ８４ | |
| ９ ： | ９１、９８ | ９１ |
確かに７がＡに入ることがわかりました。
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ところで、Ａではなく、Ｉに入る数を最初に考えるのはどうでしょう。
「Ｉに入るしかない数」つまり、「１０の位に入れられない数」を見つけることができれば簡単です。
ですが、⑩から１０の位になれない数は１つもありません。大変そうですね。
確かにＡに入る数から考えるのがよさそうです。
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主に、⑩を見ながら、進めます。
１０の位が７になる２ケタの数は、⑩から７８しかないことがわかります。するとＢは８しか入らないことがわかりました。
| ７ | ８ | □ | □ | □ | □ | □ | □ | □ |
| Ａ | Ｂ | Ｃ | Ｄ | Ｅ | Ｆ | Ｇ | Ｈ | Ｉ |
となるわけです。使った数からチェックして消していくとわかりやすいですね。
次は、⑩を見ると、１０の位が８になる数は、８４しかありません。
| ７ | ８ | ４ | □ | □ | □ | □ | □ | □ |
| Ａ | Ｂ | Ｃ | Ｄ | Ｅ | Ｆ | Ｇ | Ｈ | Ｉ |
使った数：１２３４５６７８９
となります。１０の位が４になる数は、２つあります。４２か４９です。
２つしかないですが、どちらになりそうでしょうか。試しに片方を入れてみても答えにたどりつきそうでね。
どっちを入れてみようかと考えてみます。
②の条件からすでにＢで使った８はＥには使えません。②と⑩から、
Ｄが２なら、Ｅは１，６。
Ｄが９なら、Ｅは１。
となります。では、１パターンしかない、９をＤに入れてみましょう。
後で間違っていることがわかれば、次はＤに２を入れれば良いわけです。
⑪Ｄに９を入れてみます。Ｅにも１を入れます。
| ７ | ８ | ４ | ９ | １ | □ | □ | □ | □ |
| Ａ | Ｂ | Ｃ | Ｄ | Ｅ | Ｆ | Ｇ | Ｈ | Ｉ |
使った数：１２３４５６７８９
さらに、⑩を見てＦを考えてみると、４はＣで使ったので、Ｆには３が入ります。そしてＧには５が入ることになります。
| ７ | ８ | ４ | ９ | １ | ３ | ５ | □ | □ |
| Ａ | Ｂ | Ｃ | Ｄ | Ｅ | Ｆ | Ｇ | Ｈ | Ｉ |
使った数：１２３４５６７８９
②の条件から使ってない数から、Ｈには２か６しか入りません。
⑩を見ると、Ｈに６を入れた場合、Ｉには３か５しか入りませんが、３も５もすでに使っているため使えません。
ですから、Ｈには２が入りそうです。⑩を見ると、ちょうどＩには６を入れることができます。
よって、答えは、
⑫
| ７ | ８ | ４ | ９ | １ | ３ | ５ | ２ | ６ |
| Ａ | Ｂ | Ｃ | Ｄ | Ｅ | Ｆ | Ｇ | Ｈ | Ｉ |
使った数：１２３４５６７８９
となることがわかりました！
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試しに、⑪で、Ｄに９ではなく、２を入れた場合を考えてみます。
では、試しにＤに２を入れてみます。Ｅには、１か６が入るんでしたから、
| ７ | ８ | ４ | ２ | １ | □ | □ | □ | □ |
| Ａ | Ｂ | Ｃ | Ｄ | Ｅ | Ｆ | Ｇ | Ｈ | Ｉ |
| ７ | ８ | ４ | ２ | ６ | □ | □ | □ | □ |
| Ａ | Ｂ | Ｃ | Ｄ | Ｅ | Ｆ | Ｇ | Ｈ | Ｉ |
の２パターンです。さらに②数字は１回しか使えないことを前提に、⑩を見ながら埋めていくと、以下のように×のところで、数字を入れることができなくなります。
| ７ | ８ | ４ | ２ | １ | ３ | ５ | ６ | × |
| Ａ | Ｂ | Ｃ | Ｄ | Ｅ | Ｆ | Ｇ | Ｈ | Ｉ |
| ７ | ８ | ４ | ２ | １ | ３ | ９ | × | □ |
| Ａ | Ｂ | Ｃ | Ｄ | Ｅ | Ｆ | Ｇ | Ｈ | Ｉ |
| ７ | ８ | ４ | ２ | ６ | ３ | ５ | × | □ |
| Ａ | Ｂ | Ｃ | Ｄ | Ｅ | Ｆ | Ｇ | Ｈ | Ｉ |
| ７ | ８ | ４ | ２ | ６ | ３ | ９ | １ | × |
| Ａ | Ｂ | Ｃ | Ｄ | Ｅ | Ｆ | Ｇ | Ｈ | Ｉ |
| ７ | ８ | ４ | ２ | ６ | ５ | × | □ | □ |
| Ａ | Ｂ | Ｃ | Ｄ | Ｅ | Ｆ | Ｇ | Ｈ | Ｉ |
確かに、⑫が答えのようですね。
答え：
７８４９１３５２６
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