韓国では、結婚後、苗字はどうなるのでしょうか？
韓国では結婚をしても夫婦の苗字は変更されません。
そのため妻が夫の苗字を名乗ることなく、結婚後は夫婦別姓で生活をしていくことになります。
韓国では子供の苗字はどうなるの？
韓国では2005年の民法改正までは、子供は父親の苗字を名乗ることになっていましたが、民法が改正されたことにより、子供も母親の苗字を名乗れるようになりました。
（余談ではありますが、韓国では日本と同じ戸籍制度でありましたが、2005年の民法の改正により戸籍制度自体が無くなりました。）
ただし日本と異なり、韓国同士の結婚の場合、子供に母親の苗字を名乗らせるかは、婚姻時に決めなければならないなどの取り決めがあります。
詳しい内容は韓国民法781条をご参考下さい。
参照元サイト：韓国民法
日本では？
日本人同士の結婚の場合、夫婦は同じ苗字である必要がありますが、
国際結婚の場合、夫婦別姓が認められています。
そのため、
日本人と韓国人が結婚した場合、日本では原則、
夫婦で別々の姓を名乗る事になりますが、
6ヶ月以内に、届出をすることで同じ姓を名乗ることも可能です。
また一定の要件（国によって違う）を満たせば、
お互いの姓を合体させた「複合姓」や外国人配偶者の
「通称名」を名乗ることもできます。
日本人と韓国人の場合の複合性は？？
韓国では、「本貫」と「姓」を合わせて苗字とする文化がありますが、
お互いの夫婦の苗字を複合して名乗る法律は無いため、
韓国人と結婚した日本人が複合姓を名乗ることは厳しいものと思われます。
ただし元々は韓国人だった人がアメリカ国籍を取得した場合など、
複合姓を名乗っている国の国籍を取得した場合、
複合姓への変更は十分に認められる可能性があります。