今回は、数を決まったルールで変えていく、こんな問題です。
💡頭の体操💡
— 榎本圭吾｜IINA算数教室(オンライン.中学受験) (@iinamath) October 12, 2026
ある整数に、次のルールの操作をくり返します。
・3で割り切れるとき → 3で割る
・割り切れないとき → 1を足す
1になったら終了です。
（例）11→12→4→5→6→2→3→1（7回）
「20」から始めたとき、1になるまでに何回の操作をおこないますか。#3進数#中学受験#IINA算数教室
ある整数に、次の操作を繰り返します。
・3で割り切れるときは、3で割る
・割り切れないときは、1を足す
1になったら終了です。
「20」から始めたとき、1になるまでに何回の操作が必要でしょうか？
順番に計算すれば解ける問題ですが、実は、操作の回数にも規則性があります。
その規則を見つける鍵になるのが「3進法」です。
コラッツ予想に似た問題
この問題は、数に一定の操作を繰り返して1を目指すという点で、「コラッツ予想」の類題といえます。
コラッツ予想で使うルールは、次の2つです。
- 偶数なら、2で割る
- 奇数なら、3倍して1を足す
例えば、6から始めると、
6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1
となります。
「どんな正の整数から始めても、この操作を繰り返すと、いつか1になる」というのがコラッツ予想です。
参考：コラッツの問題 - Wikipedia
今回の問題では、「3で割る」と「1を足す」を使います。
コラッツ予想とは操作が違うので、そこは区別して考えましょう。
まずは20から順番に計算
問題のルールに従って進めると、
20 → 21 → 7 → 8 → 9 → 3 → 1
となります。
矢印1つが、1回の操作です。
矢印は6つあるので、答えは 6回 です。
ちなみに、今回のルールでは、どんな正の整数から始めても必ず1になります。
1より大きい数なら、最大2回「1を足す」と3の倍数になります。それを3で割ると、元の数より小さくなるからです。
回数は3進法で計算できる！
ここからが、この問題のもうひとつの面白いところです。
操作をすべて書き出さなくても、次の方法で回数を計算できます。
① 最初の数から1を引く
② その数を3進法で表す
③ 各桁を、次の回数に置き換えて足す
| 3進法の数字 | 操作の回数 |
|---|---|
| 0 | 3回 |
| 1 | 2回 |
| 2 | 1回 |
3進法は、0・1・2の3種類の数字を使い、3になると桁が上がる表し方です。
右から順に、1の位、3の位、9の位、27の位……となります。
20の場合は、まず1を引いて、
20−1＝19
この19は、
19＝2×9＋0×3＋1
なので、3進法では 「201」 と書けます。
各桁を回数に置き換えると、
2 → 1回
0 → 3回
1 → 2回
合計は、
1＋3＋2＝6回
順番に計算した答えと一致しました！
問題に載っていた11の例でも確かめてみましょう。
11−1＝10
10は、3進法では 「101」 です。
したがって、
2＋3＋2＝7回
こちらも、例にある回数と一致します。
なぜ「1を引いてから」なの？
この仕組みを考えるには、操作を、
「必要なだけ1を足して、3で割る」
というまとまりに分けるのがポイントです。
そして、操作中の数をそのまま見るのではなく、その数から1を引いた数に注目します。
1を引いた数の、3進法の一の位によって、必要な操作は次のように決まります。
| 一の位 （3進法） |
1を 足す |
3で 割る |
合計 |
|---|---|---|---|
| 0 | 2回 | 1回 | 3回 |
| 1 | 1回 | 1回 | 2回 |
| 2 | 0回 | 1回 | 1回 |
さらに、このまとまりを1回終えると、1を引いた数の3進法表記は、右端の数字を1つ取り除いたものになります。
20の例で見ると、実際の数は、
20 → 7 → 3 → 1
と変わります。それぞれから1を引くと、
19 → 6 → 2 → 0
これを3進法で書くと、
201 → 20 → 2 → 0
右端の数字が、1つずつなくなっていますね。
だから、元の「201」の各桁に対応する回数を足せば、操作全体の回数が求められるのです。
式でまとめると、最初の数が2以上なら、
操作の回数
＝「最初の数−1」の3進法での桁数×3
−各桁の数字の合計
20なら、「201」は3桁で、数字の合計は2＋0＋1＝3なので、
3×3−3＝6回
となります。
最初から1の場合は、操作せずに終了するので0回です。
順番に数を追いかける問題の中に、3進法の仕組みが隠れている。
そう考えると、別の数でも試してみたくなりますね。
