大阪大学２０２４数学問3の問題です。
ねじれの位置にある2直線に垂直な直線の存在証明をする今年話題になった問題です。
「ねじれの位置」は中学１年生で習いました。
「ねじれの位置」とは日常的な単語で言い換えれば「立体交差してる」ということです。
数学的に厳密な定義をすれば、
・互いに平行ではない
・交点を持たない
の２つの条件を同時に満たす2つの直線が「ねじれの位置にある2直線」ということになります。
大学入試問題なので、この問題の場合はベクトルを使ってこの動画のように考えるのがオーソドックスだと思います。
しかし、考えようによっては中学１年生で「ねじれの位置」を習ったわけですし、計算でなく証明なので中１生でも本当に理解していれば解ける問題です。
たぶん中１で「ねじれの位置」を習った時に、このような立方体で辺AEとねじれの位置にある辺を全て求めなさいというような問題を解いたはずです。
辺CD、辺BC、辺FG、辺GHの４つです。
AEに対して直交する直線が存在しますね。
立方体という特殊な形だけが成り立つのでなく、一般的にどんな場合でも成り立つことを証明しないといけないです。
ここで空間図形なので、色々な方向に回転させれば同じことが言えるので四角形ABCDに絞って考えてみます。
少し形を形をゆがめて四角形ABCDを平行四辺形にしてみたりして形をくずしたりしても、AEに対して直交する直線が存在することがわかります。・・・①
中学数学だけでは道具が少なく、抽象的な言葉と図だけで証明していくのでベクトルを使った方法とは厳密さに欠けると思っています。
ただ、①の部分はまさに面AEFB上のAEと面ABCD上のCDを考えて、直交する直線が存在することを証明するベクトルのアプローチと方針は同じです。だからここまで理解でいていればベクトルという武器を手にすることで数学的に証明できるようになれるのです。
数学は積み重ねの科目と言われます。
先取り学習は全体を俯瞰してみるためにも意味はあると思います。
こうしてベクトルの問題を初等幾何に戻って考えることでよりベクトルの理解を深めることができるからです。
ちゃんと理解していれば中学数学でも解ける大学入試問題は意外とあるものです。
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