京都大学の理学部特色入試は11月に行われる自己推薦型の難易度の高い入試です。
最近は東大など旧帝大も自己推薦型の入試をしていますね。
京都大学の理学部特色入試の問題はとにかく難易度の高い問題で、数学オリンピックの問題に近いものが出されます。
今年（2024年度）の第2問は100次関数に関する問題です。
問題としては典型問題ですが100次というところがくせ者です。
【問題】
x^100−3x^10−2x−1=0 を満たす実数xの個数を求めよ。
実数xの個数ってグラフを書いた時のx軸との交点の個数のことですね。
中学生では 1 次関数や原点を通る 2 次関数のグラフを、高校生では 2 次関数を中心に、4 次関数くらいまでの関数のグラフが数学で登場します。100次関数のグラフなんて普通考えないですよね。
n 次関数のグラフには (n-1) 回以下のカーブがあるということです。3 次関数には2 回以下、100次関数だったら99回以下。
この100次関数の概形をかけたら答えは出せます。
その概形を書くにあたってどのようなポイントで考えたらいいか、非常に基礎的なところを聞きながら応用に生かせるかを問うている意味で良問ですね。
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