2023年の慶応理工学部の数学問1は微分の定義・平均値の定理に関する良問です。
こういう定義や公式は結果の暗記をしておしまいにしがちなんですよね。
有名な話ですが、1999年に東京大学でも加法定理の証明が出題されました。
東大の問題も慶応の問題も、この手の定義を使い慣れている人には易しい問題ですが、そうでない人にとっては面食らうような問題です。
(1) x=aでの微分係数は、2点間の「変化の割合」の2点を1点に近づけたときの極限です。
(2) 左から近づける極限と、右から近づける極限が一致すれば「微分可能」、そうでなければ「微分不可能」ということになります。
(3) 「0≦x≦1でh(x)が単調減少」というのを言い換えてあげると、「0≦a<b≦1となる任意の実数a,bについて、h(b)<h(a)となる」となります。
ということで、平均値の定理を利用して、h(b)-h(a)/(b-a)<0となることを示していけばよいです。
では、これを少し掘り下げて中学数学で習う関数から。
意外と盲点になりがちな論点だと思います。
（１）
①１次関数y=ax+b （a≠0）の傾きはaです。
２次関数y=ax^2+b （a≠0）の傾きは？と聞かれたときにaと答えてはいけません。
なぜでしょうか？
②そもそも「この問い自体」が間違っていますが、どの点が間違っているのでしょうか？
③ではy=ax^2+b （a≠0）のaは何を表しているのでしょうか？
（２）２次関数y=ax^2+b （a≠0）の２点P,Qのx座標がそれぞれp,q（p,q≠0）の時のPとQを結ぶ直線の傾きが（p+q）になると言えるのはなぜ？
「傾き」や「変化の割合」の定義をきちんとおさえておきましょう。
アメブロ以外にもう一つのブログ
もご覧ください。
