スマートとは言い切れないけど、算数だけでなんとか解いてみました。
①図のように正方形を作って正方形と長方形に分割しました。
②緑色で囲った長方形を図のように移動します。
一番上の3cmの正方形と下の長方形の合計は①の正方形の面積と同じです。
（下に続く）
③ここで正方形を3㎝の正方形と4つの同じ形の長方形に分割します。
④分割した長方形を図のように並び替えます。
⑤ちょうど下の長方形の部分に④の4つの長方形が入り、長方形の長さが6+3=9cmだと仮定したならば、a=6となり半径15cmの円となる。
a+3+6=15、2a+3=15となり仮定したことがつじつまがあっている。
なので求める長方形は半径15cmの四分円に内接していて、求める面積は
9×12=108cm^2
仮定が成り立つとしたらということでなんとか算数の面積移動を使って解くことができました。
もっといい方法があれば教えてください。