東大の数学ではほぼ毎年と言っていいほど通過領域の問題が出ます。図形の存在命題のうち通過領域は点の存在命題です。受験生が通過領域の問題を苦手としていて、私も学生時代は大の苦手でした。
東大ではパラメータが2種類の問題を解けるかどうかが差をつけるポイントになります。これは易しい基礎問題ではありますが、学びの多い良問です。この問題を2つの解き方ができますか？
2つの解き方って何？と思った方。
以下の2つの方法があります。
（１）順像法（ファクシミリ論法）
（２）逆像法（実数解条件）
（１）は数Ⅰの最大最小問題、（２）は実数解存在条件で考える方法です。
学校では習わないのですが、ある変数を固定してみるとか、実数解が存在するかどうかで考えることは習いますから知らない方法ではないはずです。
実はこの軌跡の問題は
包絡線という考え方もあります。
包絡線の考え方は直線・線分の通過領域ではないのでこの問題では使えないのですが、
もとの式を平方完成して
(t+x/2)^2+3/4・x^2-y=0・・・①
y=3/4・x^2・・・②
としたら①②より(t+x/2)^2＝0
xの2次方程式と見たらx=-2tの重解を持つことがわかり、①②は(-2t、3t^2）で接することが分かります。
つまり①は②とx≦0の範囲では常に接することから答えを導くことができるのではないかと思いました。
もっと簡単に言うと、
ｙの式をtで微分してその結果をyに代入するとｙ=3/4・x^2。
頂点がy=3x^2 (x≦0）を動くので （x≦0）ではｙ=3/4・x^2を動き、x=0ではyのx^2の係数が１よりy=x^2の範囲を動くことが想像できます。