先手必勝or残り物には福がある？

おはようございます。

くじを引く時にくじの数が多い前半で引いた方が良いのか、それとも「残り物には福がある」ということわざに従い、くじの数が少なくなった後半で引くのが良いのか？

「引くタイミングにかかわらず当せんする確率は同じ」という通説を聞いたことがある人も多いと思いますが、感覚的にはやはり「残り物には福がある」を支持したくなるのが人情というものです。

今回は、最初に引くのと最後に引くのとで当たりくじを引く確率が変わるのかどうかを、あらためて考えてみます。

10本のうち1本の当たりが入っているくじがあったとします。これが10人で同時にくじを引くルールなら当たりくじを引く確率は全員10分の1とすぐに理解できるはずです。しかし、1人1回しか引くことができないくじを、10人が順番に引いていくルールとなると

「最初にくじを引く人の当せん確率は10分の１。もし最初の人がハズレを引いたとすれば、次にくじを引く人は残りの9本の中から選べばいいので当せん確率は9分の1となる。つまり、後からくじを引く人の当せん確率の方が高くなるはず」

と考えたくなります。しかしここでくじを引く順番を後にするのはまったく意味がないのです。順番が後の人が当たりくじを引くためには「自分より順番が前の人がハズレを引いていなければいけない」という条件があるからなのです。

1番目にくじを引く人が当たりくじを引く確率は10分の1。つまりハズレを引く確率は10分の9ということになる。2番目の人が当たりくじを引くためには1番目の人がハズレを引いている必要があるので、9/10 × 1/9＝1/10となり1番目にくじを引く人と同じ当せん確率となります。同様に3番目にくじを引く人の当選確率は、9/10 × 8/9×1/8＝1/10。つまり何番目に引いても、当たりを引く確率は10分の1なのです。確率的には「残り物には福がある」とはいえないのでした。

ただしこれは自分より前の順番でくじを引いた人の中に当せん者がいるかいないかがわからない場合に限った話。たとえばこれまでにくじを引いた３人全員がハズレを引いたことがわかっている状況でくじ引きに参加できるなら4人目以降の人たちが当たりくじを引く確率は7分の1となる。

だったらやっぱり後からくじを引いた方が得なのでは？と思ってしまった人はまたしても確率のトリックにひっかかっているので要注意です。「最初の3人が全員ハズレを引いた」という状況になるのを待っている間に、他の誰かが当たりを引いてしまうかもしれないわけですから。

結果がわかった上でくじを引くのと、もしかしたら先に当たりくじを引かれるのではとドキドキしながら自分の順番を待つ違いですね。

神様は最初から当たりくじをどの人にあげようかと決めているなんて言ったりします。最初の例では神様が10人のうちの当たりをひく特定の1人を選ぶ確率と考えられます。

入試の結果も神のみぞ知ることだとしたら、いつスパートをかけても結果は同じ？そんなことはないですね。受験する時期には同じ学校を受験する受験生の中では学力が団子状態だとしても、そこに至るまでにまずはもっていかないと勝負の場には立てないですからね。その点では先手必勝なのかもしれませんね。