おはようございます。
今日は3日目ですね。結果が出始めてこれで終了の方や延長戦をがんばる人、さまざまだと思いますがあと少しです。
今年の開成の問題はまだぱっと見ですが大問1（４）の出題の奥深さに勝手に感心しました。循環小数を扱った問題でした。
規則性の発見と少しの注意力があれば開成を受験するお子さんなら解けた問題だと思います。
出題者の意図とは違うかもしれませんがこの問題を出してきた背景にあるものを考えたら実に奥深い出題だなと感じました。
まず循環小数として
1/9=0.11111・・・・、1/99=0.010101・・・・
となることは習っているはずです。
もう少し深ぼれば、
1/9=0.11111・・・＝0.1+0.01+0.001+0.0001+・・・・ 桁ばらしの考え方がここにはあり
=1/10+1/10^2+1/10^3＋・・・・という初項1/10で公比1/10の等差数列の総和であると言えます。
そして1/99を勉強したら、1/98を計算したことがあれば、1/98は0.01020408163265となり小数以下2桁ずつで1,2,4,8,16,32と2の倍数が現れ、32の次が65であるのかを考えたことがあるお子さんは瞬殺だったでしょうね。
これは
0.00000000000064
0.0000000000000128
のけたを揃えたら4+1＝5と繰り上がりになっていますね。
小学校低学年で学ぶ、繰り上がりの意味を問うているというのがまずこの問題のポイントでした。（小数の計算ですから難易度は高いけど）
実際、1/9998=0.00010002000400080016となるので1/98の理屈がわかっていれば解けました。
ではなんで2の倍数が現れるのでしょうか？
9998=10^4-2というのを使って、式の変形をすると下のようになります。一部、無限等比級数の収束という数Ⅲの考え方を用いてます。
このように４けたずつ分子は2倍ずつ増えていることから、2のべき乗の数字が順次表れていくのでした。
算数の問題にもかかわらず実は数Ⅲの微積が背景にあったという奥深い問題でした。