2021年の洛南中入試小問集からです。この問題の背景って何か分かりますか？
(1)は書き出せば1、7、11、13、17、19、23、29の8個で、よく見れば左右ミラーで足してみると30となる組み合わせが4つあるから120。
(2)も書き出せば、1、7、11・・・109、113、119となりミラーで足せば120となるけど全部で何個あるのかが分からない。そこで3つの輪のベン図をイメージして2、3、5でも割れない数の個数を出すと32個とわかります。したがって120の組が16個で1920。
ところで、出題者が意図していたかは別としてこの問題で書き出された整数を見て何かピンときませんか？私にはこの問題から学ぶ裏のメッセージが見えました。
この問題はオイラー関数が背景にあります。もちろん知らなくても上記のようにすれば解けますが、その知識を使えば
(1)30×(1/2)×(2/3)×(4/5)=8個，(1+29)×8÷2=120
(2)120×(1/2)×(2/3)×(4/5)=32個，(1+119)×32÷2=1920と瞬殺です。
なぜこれで計算できるのかの理解ができて使っていることが前提ですけどね。
子鉄が5年生になって塾に行き始めた頃に
今日はオイラー関数を習ったよ！って言ってきたので今の中学受験塾ってなんてレベルの高いことするんだ！って思ったことを思い出しました。
そしてもう一つ。
書き出された数は1と2、3を除いた素数とになっていませんか！そう、素数の集合は2、3、5の倍数でないものを除けばいいのです。数学で使う考え方です。数学とのつながりを考えてそこまで言及して教えている先生がいたらすごいなと思います。
また、2、3、5で割り切れない整数は1、2以外では必ず偶数個になる性質もあります。
灘2016年に類題が出題されてます。こちらの方が遥かに難しいですが。
Mastiff（子鉄父さん）のmy Pick
