おはようございます。
桑田が巨人のコーチ！
今やMattのお父さんのイメージが強いけど、高校野球の時からすごかったもんなあ。
https://headlines.yahoo.co.jp/hl?a=20210112-01120121-sph-base
1/11に2021年度の日本数学オリンピックの予選会が行われたんですね。
3時間で12問の試験です。1問15分かけられます。例年3問解けたら平均点越え、5，6問解けたら予選通過というレベルです。
問題はこちらにupされています。
日本が数学オリンピックに参加し始めた初期の頃（かれこれ30年前）に、大学への数学で数学オリンピックの存在を知り、高校1年生の時に予選会を受けに行ったことがあります。当時は広島に住んでいて、会場が近隣では岡山でした。岡山は小学5年生まで住んでいたことがあり、友人に会いついでの軽い気持ちで受けに行きました。
前日は5年ぶりに友人と会い夜遅くまでいろんな話をしました。当時の自分にとってはとにかく難しかったということだけ覚えています。予選の問題ですら普段勉強している数学と全然違うしレベルが違いました。
そんな感じでしたから、国際数学オリンピックの第32回スウェーデン大会(1991)の銀メダリスト2名が同じ年の夏に参加したセミナーに来ていたのでそれはもう神様のように見えました。そのメダリストと少しだけ会話をしましたが、使う言語が違いました。
今年の予選の問題ですが、1番と2番の2つの問題は中学受験問題でも十分出題可能なレベルの問題です。5番も算数の範囲ですが灘中の２日目レベルで誘導がないのでかなり難しいです。
1は互いに素を、お互いの整数を割り切る正の整数が 1 のみと補足してあげれば回答可能なはずです。3番は√を使うので中学3年生の問題ですが、これに似た問題が数年前に筑駒中で出題されています。5番はブロックを使った算数の問題です。
(1)だけ解説をつけておきます。
2つの数の和が与えられてて、その2つの数の積を最大化するというものです。
これはすでに小学校で習っているはずの面積の考え方に置き換えてあげれば
縦と横の長さの和が与えられたときに、面積が最大になるのは正方形になった時です。
となると45×45が最大ですが、今回は互いに素であるため１つずつずらして47×43が該当。
つまり47×43=2021となるのでした。
先日の西大和の問題もこれもベースは(45+2)×(45-2）=2021
言い換えでこのように見た目が変わるという点に感心します。
この問題、わざわざ数学で考えるなら
n<mとする。
n=90-mよりnm=m(90-m)=-m^2+90m
平方完成してnm=-(m-45)^2+45^2
-(m-45)^2<=0、nm>0なので-(m-45)^2が極力0に近いといい。
題意を満たすのはm=47,n=43
よってmn=2021
こんな平方完成をしなくても算数で瞬殺でした。
(2)は渋幕の図形問題の小問集に出てきそうな設定です。
全体の面積しかわからないのにどうして斜線部分の面積が分かるのか？
よくある解法を使えばいいのですが、前提としてあることに気づけるかどうかですね。
少し小学生には難しいかもしれないけど、なんとなくでもわからなくはないでしょう。
(3)はPから降ろした垂線の長さと下ろした辺の長さを掛けたそれぞれの和が一定であるということが問題の背景にあります。
小学生はこの問題を解くことはできないにしても、解くとしたらどんな補助線を引きますか？
この問題でPDが√7と長さが与えられていたとしたら、補助線をどこにひきますか？
「意図をもって」その補助線がひければそれだけでも実力あると思います。あとは計算だけですから。
(5)は左から同じものの組み合わせで4通り、6通り、6通りが考えられることと一番右の組み合わせの場合わけでもれなく数えあげれば解けますが大変です。
4番以降はさすがにじっくり考えないと難しいです。