今朝、ブログで見かけた2018年の麻布中の整数問題です。
非常に勉強になる問題です。
この問題、見るからに周期の問題です。
何か周期があるはず！と期待して、
2の1，2，3乗・・・・と計算していくと、下2桁までの表示をしたら
2,4,8,16,32,64,28,56,12,24,48,96,92,84,68,36,72,44,88,76,52,4
と下2桁は最初の4から52までの20個の周期で繰り返されることがわかります。
ちなみに下一桁は2,4,8,6の4つの周期です。
ここまで準備ができたら
（１）
1895÷4＝473あまり3より答えは8とわかります。
（２）これは計算をするしかないですね。
＜12＞=2^12=(2^4)^3=16×16×16とか計算の工夫がわかればなおいいのですが。
＜12＞＋＜2＞＝4096＋4＝4100
＜13＞＋＜3＞＝2×4100＝8200
＜13＞＋＜3＞＝2×4100＝8200
（この問題は2つの差が10だと100の倍数になるというのが問題の背景にあります。）
（３）
＜2018＞の下2桁とは2^2018の時の下2桁を示しなさいというので、もう下2桁の周期はわかっています。
最初の2を除いて20個の周期のうち何番目になるかを考えて
（2018-1)÷20=100あまり17
つまり17番目は44
（４）これは根気強さが必要かも。
＜53＞＝992とあるのを利用することを考えます。
92が下2桁の周期のところにあるのをみて、872の72は92の4つ後ろにあります。
したがって可能性として20の周期も考慮して＜57＞＜77＞＜97＞＜107＞あたりを考えていきます。
＜57＞の下3桁は＜4＞＝16を利用して992×16＝15872。一つ答えが見つかりました。
＜77＞は＜20＞が576より872×576=272
＜97＞は272×576=672
＜117＞は672×576=72
＜137＞は72×576=472
＜157＞は472×576=872。2つ目の答えがみつかりました。
つまり100の周期で872が出てくるということです。
こんな風にすれば2つ目の答え以外は丁寧な計算で答えを出せると思います。
では、（4)をあまりに注目した別の考え方をしてみます。
11÷4＝2あまり3を例にとると11を4つの組に分けたら端数の3つができたということです。
見方を変えて、あと1つあれば4つの組がもう一つできるということです。
そうなれば4×3=12となり4で割り切れるということです。
このことを利用します。
ちなみにこの問題では下3桁だけに注目するので、1000でわったときのあまりで考えます。
＜53＞＝992とは、＜53＞を1000でわったら992あまる。
もしあと8あれば＜53＞＋8が1000の倍数になるといえます。8=＜3＞です。
872はあと128あれば1000の倍数になります。128=2^7だから128=＜7＞
128＝＜3＞×＜4＞なので＜53+4＞＝＜57＞が1000で割ったときにあまりが872になる。
また、＜7＞=128より（２）を利用して＜57＞＋＜7＞差が50だと1000の倍数になるのでは？
と考えます。
992と1000を比べると差が8。
8=＜3＞よって、＜53＞+＜3＞の下3桁は000です。
今度は、差が「50」のとき、下３桁が000になります。
したがって次の872は＜57+50＞＝＜157＞と出せます。
（最後のところは数学的な省略しています。）
ちなみに、こんなことを知っていたら瞬殺でした。
2をかけた回数の差が50回の時、下3桁同士の和は1000になる