おはようございます。
今日はまる子は年に2回のお祭り、統一テストを受験してきます。
統一テストは学校の勉強だけでは取れない問題が多いのですが、それでも取れる問題だけをきちんと取れば平均点はいけるぐらいの難易度なので目指せ平均点！でまる子とゆるゆるですが前回6月以降、算数の勉強をしてきました。だいぶ計算ができるようになってきたのは実感しています。さすがに文章の読み取りとかになると国語力の問題ですね。
本人の今日の一番の目的は、テストの後に本屋さんへ行って本を買うことなんですけど。
さて、下の図のような三角形の板の頂点の位置Aに6g、Bに4g、Cに5gのおもりをつりさげます。
この時この三角形を1本の棒で支える時にどの位置におけば釣り合いがとれますか？
棒BCとおもり4g、5gだけでであれば釣り合いの位置はBCをおもりの重さの逆比ら5:4にわける位置で釣り合うのは十分習っていることだと思います。それではBCの一直線上とは違う位置Aにおもりがぶらさがったらどう考えますか？
ちなみにこのてんびんの、この数学の問題と聞かれていることはほぼ同じです。
算数ではこのように考えることができます。
１．頂点A,B,Cの位置にそれぞれ重さの⑥、④、⑤を書く。
２．重さの逆比に内分する点をD,E,Fとし、重さの和を書く。
３．各頂点とD,E,Fを結んだ線分の交点をPとして、重さの逆比を書き込む
結果、BCを5：4に内分する点をDとした時、線分ADを3：2に内分する位置でつりあうといえる。
これすべて、右回りの力と左回りの力のつりあいのモーメントの考え方を組み合わせただけです。
ところで、この図形どこかで見たことありませんか？
そう、チェバの定理です。
（AF/FB）×（BD/DC)×（CE/EA）＝1になるというもの。平行線の補助線を引くことで証明ができます。
算数では、おもりの重さがわからず線分比がわかる条件設定になっているはずです。
それでもこのつりあいの考え方を使えば辺の比から重さの各頂点の重さの比を出してあげ、比をそろえることで内側の内分の比を出してあげることができます。
算数も理科もつながっていますね。
このことが分かっていたら数学の問題ではPを始点とした時に、釣り合っているのでベクトルの和が0になっています。
したがってPの位置が図を描くことでわかるし、面積比も同時にわかります。ちょうど各三角形の向かい側にあるおもりの重さの比になっています。
三角形の重心は各辺の中点を結んだ交点となり、頂点と中点を結んだ線を2：１にわけることはよく知られています。これは各頂点に同じ重さのおもりがぶらさがっていることと同じ状態を言っています。そう考えたら2：1になるって感覚的にもわかりますね。なので各三角形の面積比は1：1：1となります。
ついでに正四面体の重心はどこにあるかわかりますか？
先ほどの三角形の重心で分けた三角形の面積比が等しいことを利用します。正四面体の重心をQとすると、Qを頂点とする三角錐4つはすべて体積が同じになります。したがって正四面体の頂点から降ろした垂線を3：1に分ける点がQになります。
証明は中学以降でできるようになればいいと思いますが、なぜそうなるかを感覚的に理解しておいてもしこんなことを問われる問題が出たら瞬殺できれば時間の節約になりますね。
入試は時間との勝負でもあります。時間をかけたら解ける勉強はこれまでの勉強です。
入試問題には3つの種類があって
①時間をかけないで解くべき問題
②時間をかけてでも取りに行く問題
③合格最低点をクリアするには必要度が低い問題
私は③を捨て問とは言いません。
世の中に悪問以外は捨て問なんて存在するはずがないです。
先生方が入学してほしい生徒を選別するためにいろいろなプロセスを経て決定した問題の結晶なのですから。
①を時間をかけないで確実に取りに行き、②にかける時間を作り出す。そのためには問題が配られたらタイプの①②③の選別をまず行う、これが過去問を通じて考えるべき戦略だと私は思います。
