つづきです。
【問題2】
A(1,-1)、B(3,3)がある。線分ABの垂直二等分線の方程式を求めよ。
まず垂直二等分線と言えば二等辺三角形を思い出して欲しいです。
二等辺三角形の頂点から垂線を下ろしたら底辺を2等分するという性質があります。
それを利用してABの中点はH（2,1）
ABの直線の式は傾き2よりABに垂直な直線の傾きは-1/2
よってy-1=-1/2(x-2) ∴y=(-1/2)x+2と求めることができます。
では垂直二等分線とはそもそもどんなものだったのでしょうか？
ある2点からの距離が等しい点のあつまりでした。
したがって垂直2等分線上の点P（x,y)とおいて距離が等しいことに注目すると三平方の定理から
（x-1)^2+(y+1)^2=(3-x)^2+(3-y)^2
⇔x+2y-4=0
と同じ結果になりました。
また、ベクトル方程式という考え方を使うと、原点をOとして
垂直2等分線上の点P（x,y）、ABの中点をH（2,1）、ABベクトル＝(2,4）の法線ベクトルは（-4,2)
OPベクトル＝OHベクトル＋HPベクトル
（x,y)＝(2,1)+ t・（-4,2)
x=2-4t y=1+2tから ∴x+2y-4=0
同じ結果になりました。
今回は2点が分かっていてその垂直2等分線を求めました。
例えば、ある直線の式とある1点が与えられたときに、距離が等しくなる直線を挟んだ反対側の点を求める時には
点と直線の距離を使って考えてもいいのですが、ベクトルの内積を使うとあっさり解けたりします。
また単位ベクトルという概念を使うと、角の二等分線が視野に入ったり、三角関数を使うと60°や90°の回転を使って考えるというアプローチもあります。
ここまでで中1の数学から数学Ⅱまでカバーしています。
まだまだ広がります。
関数とベクトル。切っても切れない縁があるんです。
これがつながり。
学校の算数だとできるのに受験算数だとできないって子、多いと思います。
問題が難しいから、それもあるとは思いますがだいたいの子は
この問題だったらこう解く、というようにいつまでたっても問題と解き方が1対1対応だとそうなりがちです。
いろんなことを習っているはずなのに共通項をみつけられず、単独の知識として覚えてしまうとつながっていないからうまく引き出せないのだと思います。
考える時に大事にしている3つのポイント
そろえる、くらべる、ひろげる。
（by 算数なのに国語の福島式から）
共通部分を見出すことから始めてつなげていくのです。
算数も数学も答えは1つかもしれませんが解き方は自由なんです。
つながりを意識して広げていく勉強をすると楽しくなりますよ。
