つづきです。
【問題1】
A(1,-1)、B(3,3)を通る直線の方程式を求めよ。
中学では2点から傾き2を求めて、あとはy-3=2(x-3)よりy=2x-3と求めると習うでしょう。
では「ax+by+c=0」を使って2点を通る直線の式を求めてみます。
求める直線上の点P(x,y)とおくと
直線AP、ABの傾きが同じであることを利用して
(y-3)/(x-3)=(3-(-1))/(3-1)
これを展開するとy-3=2(x-3) ∴y=2x-3 と同様に求めることができました。
中学では「傾き」という概念はとても大事です。
傾きとは（ｙの増加量）/(xの増加量）で表されこれは比の概念の延長にあります。
これが高校数学になると「ax+by+c=0」を一般に使うのは、1つにy軸に平行な直線も含めてすべての1次関数を表すことができることがあります。しかし、それ以上に新しく習う「ベクトル」の単元とのつながりがあるからです。
傾きとは、直線の方向を示します。
ベクトルでは「方向ベクトル」と言いますがy=2x-3であれば方向ベクトル（1,2）と表します。
ベクトルの単元では「法線ベクトル」という概念が登場します。
ある直線と直交する直線の傾きと同じ考え方です。直交する2直線の傾きを掛けたら-1になるというものです。
「2x-y-3=0」の式から法線ベクトル（2,-1）とわかります。傾きは-1/2です。
2×（-1/2）＝-1となるので確かに直交しています。
方向ベクトル×法線ベクトル＝0となるので、法線ベクトルから方向ベクトルを計算することができます。
このようにax+by+c=0の直線の方程式にすると係数を使うだけで垂直なベクトルがサクッと分かるのは便利です。
また中学の数学で最初に2直線の関係で、平行、垂直、ねじれの関係を勉強しているはずです。
これも「ともに同じ平面上にある直線に対して垂直な2直線は並行である」ということを利用して、法線ベクトルを使って平行な直線の式を求めたりします。
中学では傾きから平行な関係を求める、高校では法線ベクトルから平行な関係を求めるというようにアプローチが変わります。
同じ事なら、傾きや方向ベクトルで考えればいいんじゃないの？と思うかもしれません。
そこはベクトルの単元ででもう一つ大事な「内積」という概念が登場し、そこで法線ベクトルが活躍するので外せないのです。
このようにおなじみの問題1つとっても、じつはこんな風につながっているんです。
これを高校時代、このつながりを感じた時は妙な感動を覚えました。
次は、この問題を使ってさらに話を広げていきます。その3へ。
【問題2】
A(1,-1)、B(3,3)がある。線分ABの垂直二等分線の方程式を求めよ。
