おはようございます。
コメント欄をヒントに2021を使った問題その4
【問題】
1ヵ所だけ穴が空いている九九の表があります。その穴の空いた九九表の数字を全部足した和が2021になりました。穴があいている箇所として考えられる(たて、横)の組み合わせを全て答えなさい。
来週から子鉄は中間試験です。連立方程式が範囲だそうです。そこで、5年生レベルの割合の典型問題を題材に深掘りをしてみます。
今日の問題はこちら。
【問題】
ある小学校の生徒数は男女合わせて昨年は600人でした。ところが昨年と比べて男子は3％減って、女子は2％増えて今年の生徒数は592人でした。昨年の男子と女子の人数はそれぞれ何人でしょうか？
問題としては典型問題です。
どうですか？
男子と女子の合計はわかるけど内訳がわからないのに、それぞれの増減の割合はわかっている。そして昨年と今年の合計の人数もわかっている。その時に男女の内訳を聞かれています。
男女のそれぞれの人数がわからないのに増減の割合だけでわかるのって？思いますよね。
中学生なら連立方程式でX,Yとおいて解けばいいでしょう。小学生は塾によっては①、□１なんて置いて教えるところもあるかもしれません。
男子も女子もともに人数が変化する、2変数の問題であるところがこの問題のポイントであり、それをどう攻めるかです。
解き方を知っているもん！と瞬殺して終わりにするにはもったいない問題です。
では①算と算数の解き方の2通りを紹介します。
でも①算は計算大変ですね。
計算間違いをしそうです。
算数の解き方で、「男女ともに3％減らす」という考え方は塾で習う方法かもしれません。
それはこの問題固有の考え方なのでしょうか？
この問題を解き方として覚える、理解しているうちは応用は効かないと思います。
図にしてみます。
男子、女子ともに3％減れば18人減るはずですが8人しか減っていません。
ここは理解できますか？
それぞれが3％減るというのは、全体が3％減ることと同じです。
この差（18-8=10）の10人は女子は3％減るどころか2％増えていることが原因だ！
ということです。
そしてその差は割合のどれだけにあたるのか？
という「差の原因」に焦点を当てた考え方をしているのです。
連立方程式のように全体像から攻めるのでなく、差に焦点をあてているのです。
日常生活でも、何か差があると差の原因をまず見に行きませんか？
それと同じなんです。
そもそも男女ともに3％減らすという考え方は、「つるかめ算」でも似たような考え方をしますね。どちらかにそろえるという。
今回は割合ですが、結果的には今年の男子の人数にそろえているのです。なかなか小学生には難しい概念だと思います。割合や比は実数と違って抽象的だから難しく感じます。これが4年生の勉強と5年生の勉強の違いだと思います。でも本質は全く同じなんです。
そろえて、くらべるだけ。
この図はよくある面積比のところで出てくるものです。底辺が共通であれば面積比は高さの比になります。
nを自然数とした時に
ア：イ＝2n：3n 、ウ：エ＝2m：3mならば
ア＋ウ：イ＋エ＝2n+2m：3n+3m＝2（n+m）：3（n+m）＝2：3
これを応用して男女ともに3％減らせばもとの男女比の割合と変わらない。
男子：女子＝a：bとしたときに
それぞれ3％減らしたら
a-0.03a：b-0.03b=0.97a：0.97b＝a：b
男子をそろえたところで、差の原因は女子の割合の減少が仮定と実は違ったからだと考えています。
「加比の理」の考え方は図形問題で見かけますが文章題でもぜんぜん使える考え方です。
ともに3％減らすという考え方はなにも唐突ではなくて、基準をそろえるための手段でした。
これは数学でいう、複数の変数が動くときに1点を固定する考え方に通じます。
さらに
典型問題ですが料理の仕方次第でとても奥深い問題となりました(^^♪
