今日はもう一つ、場合の数の話から。
場合の数の単元は小学生、中学生、高校生、そんなに勉強する内容のレベルは変わらないだけに苦手とする人が多い単元です。逆に言えば差がつく単元。PだのCだので計算から始めるとまずつまずきます。基本は数えあげ、樹形図です。そこにP、Cの考え方があるからです。
下に中学受験で出題されてもおかしくないレベルの問題を紹介します。塾で習っている考え方で解けます。
【問題】
立方体の各面に隣り合った面の色は異なるように色を塗ります。ただし立方体を回転させて一致する塗り方は同じとみなす．
(1)異なる 6 色を全て使って塗る方法は何通り？
(2)異なる 5 色を全て使って塗る方法は何通り？
(3)異なる 4 色を全て使って塗る方法は何通り？
(1)～(3)は色が6色、5色、4色と色の条件だけ変わっています。
この問題の色の数が違うことによって発生する考え方の違いがわかりますか？
(1) 特定の色を一つ選んで立方体の下面がその色で塗られているとしてよいです。
このとき立方体の上面の塗り方は下の面で使った色の除いて 5 通りあります。
そのそれぞれの場合について側面の塗り方は 4 色に対する円順列なので（4-1)!= 通り。
したがって，5×6=30通り。
（なぜ円順列だと(4-1)!とするかは復習しておいてください。
(2) ( と同様に、特定の色を一つ選んで立方体の下面をその色で塗ります。
この色の選び方は 5 通り。
このとき条件から側面は残りの 4 色をそれぞれ一つずつ使い上面は初めに選んだ色で塗らなければなりません。つまり上下面は同じ色です。
この塗り方は 色に対するじゅず順列なので（4-1)!÷2通り。
したがって5×3=15通り。
(3) 4色をA,B,C,Dとします。
同じ色は3回使えないでの結局向かい合う面の2組が同じ色。
向かい合う面の1組は違う色となります。
例えばAA, BB, C, D のように4色から向かい合う面が同じ色を使う組を2組作ることと同じ。つまり4C2=6通り。
どうですか？
(1)は円順列、(2)はじゅず順列。(3)は組み合わせ。1問で並べ方と組み合わせの考え方を必要とする場合の数の基本をほぼ網羅する問題でした。
明日は重複順列をテーマにします。