おはようございます。
突然ですが、
x^2-30x-175
の因数分解をしてみてくださいと言われたらどうしますか？因数分解は教科書的には確か中3の範囲で、一貫校なら2年生ぐらいで習うのでしょうか？
普通は積が175、和が30になるような2数を見つけようとしますね。
実はこのように
x^2-px-qの形の2次式であれば3つのステップを踏むことで和積の組み合わせを考えることなく導き出せます。
①pを2で割る
②①の結果を2乗してqを引きます
③②の結果の√(ルート)をとり、①に足し引きする
これをx^2-30x-175に当てはめると
①-15 ②(-15)^2-(-175)=400
③-15+√400= 5 or -35
よって(x-5)(x+35)と出せます。
なんでこの3ステップで求められるのでしょうか？
実はこれ、解の公式を使っているのです。
解の公式は平方完成を使って導き出す方法が教科書に記載があるはずです。なので、平方完成→解の公式→(x-α)(x-β)へ代入しているのです。
この解の公式のルートの中身は高校数学で出てくる判別式Dそのものです。
x^2-px-qの因数分解からx^2-px-q=0が実数解を持つ時のp、qの条件を考える問題へ繋げ、平方完成、解の公式、グラフ、判別式Dが繋がっていることを実感できたら面白いと感じてもらえるかな？