おはようございます。
なかなかいい勉強になるお話を見つけました。連立方程式がテーマです。
3X+4Y=2と5X-2Y=12の連立一次方程式を解くことを題材としています。
教科書にはたしか式変形をして代入法や加減法を使ってXとYの答えを出す考え方や方法が載っていたはずです。
まずは同様に式展開で答えを出して、そのあと、「同値性」の概念を使って最初の導き出し方の説明がされています。
導き方自体は同値性の原理原則に従って展開されているのでおかしくありません。
ただちょっと違和感を感じました。
あえて「同値性」を持ち出すのであれば、まず同値性の説明として「２つの式をともに満たすXとYが存在する」ことを前提として必要十分条件をもとに話を進める必要があること。
この存在性と必要十分条件というところがポイントで、高校数学になるとみんなが悩むところです。あの判別式Dというやつです。私も苦手でした。
存在性を意識して同値展開をしてみたら
∃X,∃Y∈R ｛3X+4Y=2、5X-2Y=12｝
⇔∃X,∃Y∈R ｛X=(2-4Y)/3、5X-2Y=12｝
⇔∃X,∃Y∈R ｛X=(2-4Y)/3、5（(2-4Y)/3）-2Y=12｝
⇔∃X,∃Y∈R ｛X=(2-4Y)/3、Y=-1｝
⇔∃X∈R X=(2-4（-1))/3, Y=-1
⇔（X=2,Y=-1）
2つの式をともに満たすXとYをそれぞれ（X1）、（Y1）なんておいてあげたら、ともに1次式なんだし最初の式をY=に式変形して、次の式へ放り込んでXだけの1つの式にしてしまえば答えXは出せます。ともに1次式であれば答えはせいぜい１つだし。（2直線の交点は1つ）
あえてここで同値性を出して説明する必要ってあるのかなって？
1次式と2次式の連立方程式の時には1次式を式変形して2次方程式に代入した時に、1次式の存在を忘れてはいけません。
あくまでも両方を満たすXとYが存在することを前提としているのだから、制約条件である1次式でも満たすかどうかの検証は必要になります。なのでその場合は、同値性を維持した展開は必要になります。
では
（１）3X+4Y=2と3X+4Y=4の連立一次方程式を解きなさい。
（２）3X+4Y=2と6X+8Y=4の連立一次方程式を解きなさい。
それぞれ答えはどうなりますでしょうか？
私は、最初の問題とこの2つの問題をセットで考えた時に初めて同値性の概念って意味を成すのではないのかなって思ったのです。
ちなみに（１）は解なし。（２）は解は無数にあります。
グラフを描いたら一目瞭然です。
（１）の2つの式は平行になるので交点はできません。つまり解なし。2=4となり同値が存在しないのです。
ついでに背理法の勉強もできちゃいます。
存在することを前提にしたのに矛盾しちゃってます。
（２）の2つの式は重なります。つまり3X+4Y=2上にあるXとYは全て6X+8Y=4も満たすので無数にあります。これも前者を2倍すれば4=4となり成立します。