おはようございます。
今朝は小学3，4年生でも問題の意味さえ分かれば解ける大阪大学の問題からです。
計算練習のような問題ですね。
【問題１、大阪大学2000年】⇒小学3,4年生向け
どのような0以上の整数M、Nを用いても、「X=3×M＋5×N」という形で表すことができない１以上の整数Xをすべて求めよ。
小学生向けに表現を少し変えましたが、ほぼそのままの問題です。これが大阪大学の理系の大問として出題されてました。問題の意味が分かるならば小学4年生ぐらいからでも十分解ける整数問題です。小学生なら調べて書き出しても十分答えは出せます。
この時の受験生も書き出して答えを出していたら満点もらえたのかな？お子さんと一緒に考えてみてはどうですか？
答えは下の方に書いています。
また、この問題の条件を少し変えて
【問題２】⇒小学5、6年生向け
どのような0以上の整数M、Nを用いても、「X=5×M＋8×N」という形で表すことができない１以上の整数Xをすべて求めよ。
となるとどうでしょうか？
さきほどの問題と違うのはどこまで調べたらいいのかがわからないという点かもしれません。
ちなみにこの問題は、フロベニウスの硬貨交換問題 というのが背景になっています。
中学受験の教材に知識として結果だけ書いてあるのはみたことがあります。なぜそうなるのかまでは書いてありませんでした。子鉄には結果だけ覚えさせました。中学受験レベルでは記述は限られた学校なので仕方ないでしょう。
と が互いに素なとき，円の硬貨と 円の硬貨を使って支払えない金額の最大値は円
となるということを知っていれば【問題１】は5×3-5-3=7までの数で調べれば答えは出せます。
【問題２】も5×8-5-8=27までの数を調べれば答えは出せます。
さて、どちらの問題もそうですが、答えを出すだけなら書き出して調べれば出せるでしょう。
でも【問題１】で、どうして最大は7なの？本当に8以降の数は全部3と5の組み合わせの和で表すことができるの？
【問題２】もどうして最大は27なの？本当に28以降の数は全部5と8の組み合わせの和で表すことができるの？と思いませんか？
そう思ったらぜひ、なぜそうなるのか考えてみるとこの問題の違った側面が見えるかもしれません。これは中学生以上でないと難しいかもしれませんが。
ちなみに【問題１】は、実験の結果から1以上のすべての整数はkを整数とした時に（kは負でもOK）
3k+5×2 =3k+10≡1(mod3)
3(k+2)+5×1=3k+11≡2(mod3)
3(k+4)+5×0=3k+12≡0(mod3)
のいずれかで表すことができます。
kを変えることでMは色んな数をとりますが、Nの値は0,1,2のどれかで表すことができるのです。周期の問題に変わりました。
3で割った時のあまりは0,1,2のいずれかなので連続する整数はこの3つのどれかで表すことができます。なのでk=-1の時に8となり、以後ｋの数字を変えていけば連続する全ての数を表せます。
最大が7となるのもこの式から示すことができるし、3と5の和で表せない数、（答え）1,2,4,7 もこの3つの式から示すことが出来ます。
【問題2】も連続する数を【問題1】と同様に表すことができ、その式から27が最大だとわかり27までの数を調べれば答えをだせます。
（答え）1,2,3,4,6,7,9,11,12,14,17,19,22,24,27
