おはようございます。
受験が終わり、そのあと休校となり4カ月になります。
意欲的なお子さんはこの4カ月で中学数学を一通り終えたようですね。
私自身は受験全敗の悔しさから3月に独学で数学を始めて、途中証明の単元でつまづいてなんとか一通り中学数学を終えたのが1年生の終わりでした。そんな時にたまたま行った本屋さんで「高校への数学」の2月号と出会ったのでした。それからは学コンにチャレンジするのが楽しくて、そのうち名前を載せたいと強く思ったものでした。
さて今日は連立方程式を解くとはどういうことかという意味を考えてみます。
論理学にもつながる話なので少しややこしいかもしれませんが、解く過程の意味をわかってもらえればいいなと思います。そして、それが図形的にはどんな意味をしているのかも。
このあたりまで触れている中学数学の参考書は多分ないでしょうね。
たとえば
連立方程式 x+y=3と2x-3y=1を解きなさいという問題だと
「 { 」の記号で2つの式がくくられていますが、この「 { 」の意味ってなんだか分かりますか？
X+y=3・・・① 2x-3y=1・・・②とそれぞれの式①②と番号をふってあげた時に
①と②を満たすxとyを求めなさいということなので「 { 」の意味は「かつ」です。
論理記号で言えば「∧」です。
ではこの連立方程式を解くとしたらまず①×3+②をしてxだけの式にして5x=10 ∴x=2 ・・・③
としてxを求めました。
この③の式ってなにをしているのでしょうか？
未知数yを消してxの式にしてｘを求めている。それはそうなのですが、なぜ③をもとめれば「①∧②」を満たすxとyを求められるのでしょうか？
これをしっかり答えられる中学生がいたら相当力があります。
そうやって解けばいいからというのはまだまだ暗記数学の勉強レベルです。
①と②を満たすxとｙをそれぞれx'、y'とします。
このx'、y'は①②ともに満たすのだから、それぞれ代入してｘ'+y'=3・・・①'、2x'-3y'=1・・・②'の式を満たします。
そこで①'×3+②'をして5x'=10 ということで求めたいx'がみたす条件を示しています。
式変形をしているわけです。
ではなぜ①'×3+②'の操作をしていいのか？
それは「＝」に大事な意味があります。「＝」は左右が等しいことを意味しています。（算数ですね）
なので左右が等しければ、同じ実数を足したり、引いたり、かけたり、割ったりしても等しい関係は崩れません。
だから①に左右が等しい②を加えることで満たす新しい条件③へ式変形したものと言えます。
つまり「①かつ②」⇒「②かつ③」と言い換えています。こういうのを同値関係と言います。
話が変わっても論点がずれていないということです。連立方程式を解く過程というのはこの、同値関係を維持するために四則計算の大原則をもとに式変形をしているのでした。
では本当に論点がずれていない(同値関係が維持されている)のか図形的に見てみます。
数学で図形的にといえば座標を用いて考えることが多いです。
今回は方程式を関数とみて座標で考えてみます。
下の図は、x+y=3・・・①と2x-3y=1・・・②の関数をグラフにしたものです。
2つの直線の交点(x,y)=(2,1)は連立方程式の答えそのものです。
つまり連立方程式を解くとは2直線の交点を求めていることを意味しています。
①と②のグラフです。
次に①×3-②をして①を③x=2へ式変形しました。
②と③のグラフです。やはり2直線の交点は(x,y)=(2,1)です。
さらに③を①へ代入して①を④y=1へ変形しました。
②と③のグラフです。やはり2直線の交点は(x,y)=(2,1)です。
③と④のグラフです。やはり2直線の交点は(x,y)=(2,1)です。
式変形をしても交点は変わらず常に(x,y)=(2,1)になっています。
論点がずれていないことが図形的にも確認できました。
連立方程式の単なる計算問題から関数のグラフの問題へとつながっていきました。
算数でもよく問われた式の意味を考える。
これは数学になっても変わりません。