おはようございます。
子鉄が数学の課題をしていました。
(a+b)^2を展開したらどうなる？
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2じゃあ(a＋b)^3を展開したら？即答できません。
地道に展開してなんとか導く事ができました。
3乗の公式
(a+b)^3=a^3+3a^2•b+3a•b^2+b^3
この程度であれば暗記していた方が計算は早いでしょう。
では4乗では？2乗も3乗も4乗も地道に計算をして展開すれば導くことはできます。
これは数学というより文字式を扱っていますが算数の組み合わせの問題です。
例えば(a+b)^2は(a+b)を2回かけています。
(a+b)を1つのグループとみたら(a+b)の2つのグループがあり、それぞれのグループからaとbを選んでいるに過ぎません。
a^2は2つのグループからaを2つも選ぶケース。つまり2C2=1
abは2つのグループからaを1つ選ぶケース2C1=2
b^2は2C0=1
これが係数になっているだけ。つまり各係数とは文字の組み合わせの個数になっています。
となると3乗の(a＋b)^3においてa^2•bの係数は
3C2=3と導く事ができます。
実はこれ「二項定理」と呼ばれる組み合わせの単元が背景になっています。
では(a+b+c)^2と文字が3種類になった場合を展開しなさいとあったらそれでも展開計算をしますか？
そんな必要ないですね。a^2は2つのグループからaを2こ選ぶのだから2C2=1、abの係数は2C1=2と導けます。2つの文字から選ぶので片方が決まればもう片方は自動的に決まります。
(a+b+c)^3と文字3種類の3乗の場合は？
a^2•bの係数を考えたら3つのグループからaを2こ、残り1つのグループからbを1こ3C2・1C1=3
一般的に
（a+b+c)^nを展開するとa^p・b^q・c^rの係数は、p+q+r=nの時
n! / （p!・q!・r!）と表すことができ、これはnCq・n-pCq・n-p-qCrとなります。
これは「多項定理」と言われています。
ここまでくると高校数学の範囲ですが、その基礎となる考え方は既に受験算数で習っているんですよね。