おはようございます。
算数ソムリエさんのブログで2020年東大寺大問４番『場合の数』が紹介されていました。
実にレベルの高い学びの多い良い問題です。
色々な解き方があるとは思いますが、算数ソムリエさんは作問者の問題設定の意図に寄り添ったアプローチをされています。
＞私は解いていてなぜ気持ちが良いと感じたのかと言いますと、この小問の流れから出題者の意図がおそらくこうではないか、こう解いてほしい、これに気づいてほしいという思いで作られたのではないか、という部分に触れたような気がして、そしてそれはおそらく誰もが辿り着けるわけではないだろう境地だったりして、それに気付くことが出来た限られた人間と出題者の中だけでのみ成り立っている会話があるような気がして、その瞬間に至上の幸福を感じられるわけです。まさに、美術館でアートに見入ったり、落語の深みに聞き入ったりするのと同じような感覚です。
私も同じ感覚を感じましたが、さらに話を発展させてみました。
【問題】
太朗君と花子さんが1,2,3,4,5,6の6種類の数字だけを並べて整数を作ります。ただし、同じ数字を何回用いてもよいとします。たとえば3けたの整数を作るときは222や353などの整数も作ることができます。太郎君の作る整数をA、花子さんの作る整数をBとするとき、次の問いに答えなさい。
(1)
① 2人とも2けたの整数を作るとき、B＝2×AとなるようなA,Bの組は何組あるか答えなさい。
② 2人とも2けたの整数を作るとき、B＝2×A＋1となるようなA,Bの組は何組あるか答えなさい。
(2)
2人とも3けたの整数を作るとき、B=2×AとなるようなA,Bの組は何組あるか答えなさい。
(3)
2人とも5けたの整数を作るとき、B=2×AとなるようなA,Bの組は何組あるか答えなさい。
繰り上がりのアル、ナシ。繰り上がりの位置が1桁目か2桁目かで場合分けをしています。
こういった問題の場合の常套手段である「一歩手前で場合分け」でなく「次の一手で場合分け」です。
ではこの問題は（１）は力技でも解けるのでしょうが、（２）（３）となると思考力が必要です。（２）まで解けたら力のある子だと思います。
この問題を数え上げだけで解く方法だけに終わらせておくにはもったいないので、高校数学にもつながる漸化式への展開と実際に漸化式を解いてみました。
このルールをみていくと
1桁の場合
①B=2×Aのとき 3通り
②B＝2×A+1のとき 2通り
2桁の場合
①B=2×Aのとき 3×3+2×1=11通り
②B＝2×A+1のとき 3×3+2×2=10通り
3桁の場合
①B=2×Aのとき 11×3+10×1=43通り
②B＝2×A+1のとき 11×2+10×2=42通り
これで連立漸化式が出来ます。
Pn=3・P(n-1)+Q(n-1) P1=3
Qn=2・P(n-1)+2Q（n-1） Q1=2
この連立漸化式を解くと
Pn=1/3・（2・4^2+1) Qn＝1/3・（2・4^2-2)
なので東大寺の問題では5桁の整数となっていますが、何桁でもこれで出すことができます。
ちなみに東大寺の問題はnに代入していくと（１）①P2=11 ②Q2=10 （２）P3=43 （３）P5=683となります。