おはようございます。
4月からは学校が始まるであろうと思っていたのに休校対応となってしまったため暇を持て余すのもなんだしと思い数学は中学準備講座で取り組んでいた方程式の単元から先に進ませることにしました。幾何は受験の時に取り組んでいた内容とだいぶ被ってます。
先週から図形の証明の単元に入ったようでてこづっているようです。
中学数学での幾何の証明問題はだいたい合同か相似を使うことで解決します。求められている事項を証明するのに、何が言えたらそのことが証明できるかのストーリーが描けるかどうかがこれまでの計算して答えを出す問題と違うところだと思っています。
ある問題の証明の仕方を聞いてきたのでついでに「三角形の五心」のうち重心と内心、外心について触れてみました。重心は理科のてこの分野でやったことがあるようです。
内心とは三角形の中に内接する円の中心です。
外心とは三角形が外接する円の中心です。
その絵を見せて内心と外心をどうやって作図でもとめるか？を知っている知識を使って考えてみることにしました。
ちなみに
内心の定義：各角の2等分線の交点。
外心の定義：各辺の垂直二等分線の交点。
です。
なので幾何の最初の方の単元で角の2等分線や垂直二等分線を習っているのでそれを使えば求めることができます。
では、なぜそれが内心や外心と言えるのか？
それを内心や外心の存在することをどうやって証明するか？は意外と難しい問題だと思います。
この存在することの証明。
先日の逆手流のアプローチもその1つ。私もこの存在証明の問題はずいぶん苦労しました。
まずは合同な三角形を使って証明します（中学数学レベルならここまでかな？）が、必要十分条件を考えるためには角の3つの2等分線や3つの垂直二等分線が1点で交わることの証明をする必要があります。
その時にもしも交点が出来ないならばという背理法を使って角の二等分線や垂直二等分線が平行だと題意を満たせないということから証明していけます。
定義は覚えないといけませんが公式や定理は暗記するものでなく、自分で導けるようになって初めて理解が深まるものだとこの歳になって思うようになりました。