おはようございます。
早稲アカからもう1週間の休校のお知らせが来ました。
それは今の情勢を考えたら織り込み済みでしたが、その中に校長先生が変わったというお知らせも。
ちょうど1年前のこの時期も人事異動がありました。
算数、理科、社会の先生3人の先生の一斉交代でした。
そして残った国語の先生が途中で校長先生となり、その校長先生が今回交代になりました。
多分もうその先生は異動されたのかも。
受験が終わった時にお礼に伺ってはいますが、塾がお休みだから先生にお別れの挨拶が言えないまま。
なんだかなあ。
さて、昨日のブログに挙げた算数の問題。
三角形OABの中に平行四辺形OQPRがあります。平行四辺形OQPRの面積が最大になるのはＰが辺ＡＢ上のどこの位置にある時とあなたは考えますか。そう考えた理由を答えなさい。
まずは小学生レベルから。
たぶんＰがＡＢの中点ではないかと推測します。
ＰをAからＢへ向かって動かしていきます。
（ⅰ)AP：ＰＢ＝1：2の時
□OQPRが平行四辺形だからAR：RO＝OQ：QB＝1：2となります
△OPRは△OBAの2/9、△OQPも△OBAの2/9だから□OQPRは△OBAの4/9
(ⅱ)AP：ＰＢ＝1：1の時
同様にして□OQPRは△OBAの1/2
(ⅲ)AP：ＰＢ＝2：1の時
同様にして□OQPRは△OBAの4/9
1/2 > 4/9よりＰがＡからＢへ向かっていく時に面積が大きくなりＰがＡＢの中点を超えていくと小さくなっていくと考える。
実際にＡＢにおけるＰの位置によるＡＰ：ＰＢの比は他のＱ，Ｒの比でも同じなので△OPRと△APR、△OPQと△BPQの面積が同じになる時が□OQPRの面積が最大になる時。つまりＰがＡＢの中点となる時と言える。
次に中学生は、
ＡＰ：ＰＢ＝a：ｂとする。
平行四辺形であることから△OQPと△ORPの面積は等しい。
□OQPRは△OBA×a/(a+b)×b/（a+b)×2
a+bは一定。したがってa×bが最大になる時が求めるＰの位置。
a+b=kとおくとa×b＝a×（k-a）＝-a^2+ka
これはaの2次関数。これを平方完成させると-(a-k/2)^2+k^2/4
つまりこの2次関数の頂点はk/2となる時に最大となる。k/2とはＰが中点の位置と言える。
次に高校生ならば、三角関数を使って
OR=x,OQ=yとして求める面積S=x・y・sineθ
sinθを定数とみてＳが最大になるのは中学生の考え方を使ってx,yがそれぞれ中点になる時と導き出せます。
他にもいろんなアプローチがあると思いますが、それぞれの時で持っている知識をフル活用して考える。
これがとても大事だと思います。