おはようございます。
今回は以前ブログで取り上げた算数の問題から大学入試問題を考えてみるシリーズです。
本題に入る前に、なぜ私が算数の入試問題は当然チェックしていますが大学入試までみているかというと、
私がいつも疑問に思っていることがあります。
中学入試問題を作問している先生方が普段相手にしているのは中学生、高校生。
中学・高校過程の数学の授業をしている中で気づいた生徒の素養を見るのに有効と思われる算数の問題を作成しているはず。
となると必然的に題材は授業で扱っていたりする内容で、時には大学入試も視野に入っていると思われます。
だから題材は大学入試にあるのではないかという私の仮説からです。
大学入試レベルで出すわけにはいかないのでそこにあるエッセンスを抜き出して問題にしているのだと。
それでも、塾の先生と違って普段は算数の問題を作問しているわけではない先生方がどうやってあの問題を作り出すのか。
中学の数学だと文章題で逆比を使って解くことはほとんどないと思うのですが、どうやって方程式の問題から比を使って解く問題に仕立て上げているのか。
わたしは解き方よりもどのようにして問題を作っていくのか、そこを今一番聞いてみたいです。
さて今日のテーマは「場合の数」で、子鉄に出した「重複組み合わせ」の問題からです。
【問題】
サイコロを3個同時に投げるとき、出た目の数の和が6になるのは何通りあるか答えよ。
ただし、サイコロ3つはそれぞれ区別できるものとします。
重複組み合わせと言えば、高校数学で「nHr」を習いました。
nHr = (n+r-1)Hr
あの当時はわけも分からず使っていました。
n+r-1の-1って何？この問題はCを使うのか？Hを使うのか？とよく混乱してました。
でも実はＰとＣだけで事足りてＨは必要ないことを算数を勉強して初めて分かりました。
ちなみに「重複組合せ」は「 ○と | を使う仕切りの問題 」 に帰着できます。
もう2年前になりますか。
IINAの午後からの6時間で図形と場合の数を勉強するという超ハードな単発講義に出席した時に初めて知りました。
私にとってはとても新鮮で目からうろこだったことを今でも覚えています！
さて上記の問題であれば、おそらく迷わず書き出すでしょう。
その場合サイコロの目をkとした時に1≦k≦6、3回投げるからmax(1,1,4）で4が最大と絞れます。
出た目が６となるのは，
｛１，１，４｝｛１，４，１｝｛４，１，１｝
｛１，２，３｝｛１，３，２｝｛２，１，３｝｛２，３，１｝｛３，１，２｝｛３，２，１｝
｛２，２，２｝
の計10通りと出せます。
これぐらいなら書き出しで対応できますが、これが10個のサイコロで目の和が13とかになったらどうしますか？
さらにこれをn個まで拡大して
【問題】
サイコロをn個同時に投げるとき、出た目の数の和がn+3になる確率を求めよ。（2006年京大）
となったらどうしますか？
これも仕切りの考え方を使えば書き出しをしなくても解けてしまいます。
最初の問題でサイコロ3個の目の数を各々k1、k2、k3とおきます。
問題文は以下の様に式で表せます。
k1+ k2+k3=6
今サイコロは1から6までのいずれかの目が出るので、1≦k1,k2,k3≦6。
この問題は
「6個のボールを3人に配り、その3人が最低1個は貰える問題」
と和分解の問題へと読み替えることができます。
この読み替えさえ出来れば、
先に3人に1個ずつボールを配って、残った3個のボールを3人で分けるとするとどうしたらいいか
を考えればいいのです。
仕切りの考え方をつかって丸3個と仕切り2個を並べる事を考えて5C2=10通り
サイコロn個の目の数を各々X1、X2、・・・Xnとおきます。
今サイコロは1から6までのいずれかの目が出るので、X1〜Xnの整数の組みは全部で6^n個有ります。
問題文は以下の様に式で表せます。
X1+ X2+・・・+Xk+・・・+ Xn = n+3
(1≦Xk≦6 |k=１，2，・・・n)
(1)より (n+2)(n+1)n/6 通り。
が答えとなります。
算数をしっかりやっていればn個になっても確率になろうと考え方は同じですね。