今朝のブログに書いた問題ですが参考までに
【問題】
一の位の数と、千の位の数がともに１であるような４ケタの整数のうち、７で割ると３余るような数はいくつあるでしょうか。
＜解法１＞・・・オーソドックス
1001は7の倍数、10足した1011は7で割ると3余る数。
1の位と7で割った余りを変えないためには7と10の最小公倍数70を加えていけばいいので、百と十の位が01から99の15個。
＜解法2＞・・・7の倍数の判別の仕方を活用
abcdefを3桁ごとに区切り、差が７で割り切れれば7の倍数であることを利用する（証明は後述）
1008,1078,1148,1218,1288,1358,1428,1498,1568,1638,1708,1778,1848,1918,1988で15個。
（1988+3=1991で題意を満たす）
（証明）
7の倍数の見つけ方 より引用。
こんなの知らなくても大丈夫です。でも1001を使うところはぜひ理解しておくといいと思います
（999=27×37も）
数字を abcdefghi だとします。
abcdefghi = abc × 1000000 + def × 1000 + ghi
ここで abc = A, def = D, ghi = G と置き換えると
abcdefghi = A × 1000000 + D × 1000 + G
= 1000 × 1000 × A + 1000 × D + G
= 1000 × (1001 – 1 ) × A + ( 1001 – 1 ) × D + G
= 1000 × (1001 × A – A ) + 1001 × D – D + G
= ( 1001 – 1 ) × (1001 × A – A ) + 1001 × D – D + G
= 1001 × 1001 × A – 2 × 1001 × A + A + 1001 × D – D + G
ここで 1001 = 143 × 7 であるから、 1001 を掛けた積は 7の倍数である事を利用して式を整理すると
abcdefghi = 1001 × 1001 × A – 2 × 1001 × A + A + 1001 × D – D + G
= 1001 × ( 1001 × A – 2 × A + D ) + A + G – D
1001は 7の倍数であるから、1001 × ( 1001 × A – 2 × A + D )は7の倍数である。
よって、残りの A + G – D が ７の倍数であれば、abcdefghi は 7の倍数である。