番外編～今朝のブログの問題から（一部修正）

【問題】

ある整数をいくつかの整数の和の形に分割して、その積を求める作業を行うことにします。例えば、整数4は1+1+1+1、1+1+2、2+2、1+3の4通りが考えられ、積が最大となるのは2+2と分割した時でその値は4であることがわかります。では、19について同じ作業をした時に積は最大でいくつでしょうか？

柔軟な発想が求められる問題です。

これはあることを知っていれば瞬殺問題ですが、知らなくてもどう考えるかについて考えてみましょう。

ここで大きな方針として

・2以上の数でなるべくたくさんの数をかけるようにする。（１が入らないようにする）

・2を1つけずって他の数字を大きくすることを考える

　（3→4や4→5よりも2→3にするのがベスト）

自然数には偶数と奇数がある。

つまり自然数は2×■か2×■＋1のどちらかで表せる。

この問題の場合、1をなるべく使わないようにするためには奇数１の代わりに奇数3で表すことを考える。

つまり2×■か2×■＋3のどちらかで表す。ただし6のように2×3＝3×2と＝3で代替できるものは3を使うようにすると良いだろうというのが出発点になります。

ではこのことを知らない、思いつかない場合、何から手をつけていいのかわからないかもしれません。
与えられた問題が難しくて手がつけられない場合は、困難を分解してみましょう。

どのように分解してみますか？

やはりこの場合は和が2,3,4の場合と考えていって何か手掛かりがないかを探したほうがよさそうだと考えるのが自然です。

（1）和が2の場合

2=1+1より積の最大値は1

$$\mathrm{}$$（2）和が3の場合

$$\mathrm{}$$3=1+2=1+1+1$$\mathrm{より積の最大値は<span\; style="font-weight:bold;"><span\; style="color:\#ff0000;">2</span></span>}$$

$$\mathrm{}$$（3）和が4の場合

$$\mathrm{}$$ 4=1+3=2+2=1+1+2=  1+1+1+1$$<span\; style="display:\; none;"> </span><span\; style="display:\; none;"> </span>=$$より積の最大値は4

（4）和が5の場合

5=1+4=2+3=1+1+3=1+2+2=1+1+1+2=1+1+1+1+1より積の最大値は6

5=2+3 < 2×3=（5-3）×2=6 となっています。

（5）和が6の場合

6=1+5=2+4=3+3より積の最大値は9

（6）和が7の場合

7=1+6=2+5=2+2+3より積の最大値は12

より和が3,4,5,6,7となるような有限個の整数の積の最大値はそれぞれ2,4,6,9,12であることがわかります．

特に5,6,7の式に注目した時に 

これは，もし有限個の整数の中に5 があれば，それを2 と3 で置き換えた方が積が大きくなるということを意味しています。

この結果は一般化できます．
すなわち，    n を5 以上の整数とすると， n < (n−2)×2が成り立ちます。    

よって，有限個の整数の中に5 以上の整数が使われることはない．。

上の結果を言い換えると，有限個の整数として使われる整数は1,2,3,4のいずれかのみということになります。

4は2×2のように2の要素として表せ、1の場合は1をかけても結果は変わらないので、積の最大値は2^a×3^bという形で表すことができます。あとは2と3がいくつずつあれば積が最大になるかを考えれば良いです。

また2が3つあるなら，それを2つの3で置き換えれば和を変えずに積を大きくできます。

では問題に戻って19を極力3を多く使うようにすると積を大きくできることから

19＝2×2+3×5と表せるので（2が1こだと3で表せない）

2^2×3^5=972