おはようございます。
今朝の子鉄との朝勉の問題です。
【問題】
ある整数をいくつかの整数の和の形に分割して、その積を求める作業を行うことにします。例えば、整数4は1+1+1+1、1+1+2、2+2、1+3の4通りが考えられ、積が最大となるのは2+2と分割した時でその値は4であることがわかります。では、19について同じ作業をした時に積は最大でいくつでしょうか？
「困難は分割せよ」
とはルネ・デカルトが、著書『方法序説』の中で述べた言葉です。
どんな難しいことも少しずつ分割していけば達成できる。
まさに、スローガンの中のスローガンといった感じですね。
分割、といえば「割り算」の発想が浮かびます。
最近思うことは、四則計算の中でも突き詰めていくと
物事は「足し算、引き算」の考え方に収束するのではないか？
と。
例えば割り算で15÷3の問題をつくる場合，次のように2種類が考えられます。
(その 1)
「みかんが15個あります。3人で同じ数ずつ分けます。1人分はいくつになりますか」
⇒全体を3つに分けるとその1つ分が5になる。
⇒全体をいくつかに同じように分けることを等分除。等しく分けきるというイメージで，全体量に対し1あたりの量を求めるという意味。乗法との関係で考えると，□×3=15の□にあたる数(被乗数)を求める計算。
(その2)
「みかんが15個あります。3個ずつ分けていきます。何人に分けられますか」
⇒全体から3つずつ切り取ると，5つに分けられる。
⇒全体をいくつかずつに分けていくことを包含除。全体量を分けていったとき，いくつ分になるかを表す意味 乗法との関係で考えると3×□=15の□にあたる数(乗数)を求める計算。
話を元に戻して、というある課題を下の図のようにA～Dまでの4つの要素に分解したとします。
でも4つの要素の難易度は同じ場合もあれば違う場合もあります。
つまり課題＝A＋B+C+Dというのが本来の姿でありA=B=C=D、つまり全てが等しい、もしくはすべてを等しくする時に割り算が成り立つのでないか。だから分割の原点とは「引き算」にあるのではないかということ。その逆は積み上げの「足し算」であり、同様に積み上げの特殊な場合が「掛け算」ではないかと。
これは上記の課題を面積図に落とし込んだものです。
課題を網羅するためには、まず要素Aを考え、それで充足しない部分があれば要素Bを考えることを繰り返すことで、A～Eの5要素を考えることで課題の全体像をとらえ、それぞれの要素について検討していくというのが課題解決の過程なのではないかと思うのです。こうして考えていくと小学生は面積図を使って算数の問題を解く練習をしていきますが、実は論理的に考えるアプローチの仕方を学んでいるのです。そしてそれは場合分けの考え方にもつながります。
では最初の問題はどうしますか？
和が2～19まで、どれも同じ種類の要素に分けられると考えたら18分割して考えてみましょうか。
和が2,3,4,5,6,7あたりで何か見えませんか？
ちなみに問題の答えは972です。