すおはようございます。
先日のSaruさんのブログの中で「背理法」を使ってある事象の証明がされていました。
ちなみに背理法とは、
「ある命題Aに対して、Aが成り立たないと仮定して矛盾を導くことで、命題Aが成り立つことを示す証明方法のこと」
で、日常でも実は使っている論理方法です。
子供のうそを見抜く時とか😀
私はこの「背理法」と」いう言葉を聞くと、丸大ハンバーグのCMで「ハイリ、ハイリフレ、ハイリホー」というフレーズ、最後に「大きくなれよ！」というオチをどうしても思い出します。
それをコメントしたら「知らない。。。」と言われてしまいました。世代のギャップ？
えっ！と思ったら、ネットにこんな記事が。
たしかに最近このCM見ませんから知らない人も多いのでしょうね。昔はハンバーグと言えば「マルシンハンバーグ」か「丸大ハンバーグ」でした。これがそのCM。
さて、その背理法を使った問題に関連して慶応女子校の問題から。
【問題】
約数の個数が4個でその約数の和が84となる自然数を求めなさい。
答えを出すだけなら簡単だと思います。
今回は答えを出すにあたっていかに計算をしないで場合分けをつぶしていくかを考えてみたいと思います。
「=」イコールの意味に注目してみます！
なお、約数の和を求めるのに公式があるのでそれを使って話を進めます。もちろんなぜその公式が成り立つかは理解した上で使ってください。
まず約数が4こということは、素因数分解した時に（p,qは素数）
①因数が１つでp^3のケース
②因数が2つでp×ｑのケース
の2つがあります。
①の場合、1+p+p^2+p^3=84となるｐを見つけます。
これはいちいち数字をあてはめて計算しますか？
そのアプローチの仕方に計算力と思考力の差が表れます。
どういうことかというと、7^3>84なので2,3,5だけ考えればよい。
そしてpが2の場合左辺は1を足すから奇数、右辺は偶数だから矛盾。
3の場合は左辺は3の倍数でないが右辺は3の倍数で矛盾。
5の場合は左辺は5の倍数+1、右辺は5の倍数+4で矛盾。
したがって①のケースはありえない。
②の場合、(p+1)×(q+1)=84となるp,qを見つけます。
p+1=. 1, 2, 3, 4, 6, 7
q+1=84, 42,28, 21,14, 12
(p+1）が1の時、p=0となり×。
(p+1）が2の時p=1となり素数でないので×。
(p+1）が3の時はp=2,q=27。27は素数でないので×。
(p+1）が4の時はp=3,q=20。同様に×。
(p+1）が6の時はp=5,q=13。これは題意を満たすので〇。p×q = 65
(p+1）が7の時はp=6,q=11。pは素数でないので×。
よって答えは、p=5,q=13から65
と本格的に計算するまでもなく、約数、倍数、あまりの関係から矛盾を導き出したりして素早く消去していく方法でやってみました。
これは数学の勉強で整数論のところで特に役立つと思います。