おはようございます。
昨日は、Saruさんのブログで
「必然の補助線と偶然の補助線のちがい」
に言及があったのでふと思い出した問題を紹介してみたところ多くの方にチャレンジしていただいたようです。
シンプルだけど補助線の意味を考えてひくことを考えるにはちょうどいい問題だったと思います。
想定していた考え方以外にもいろいろなアプローチがあって楽しめたのではないかと思います。
こんな遊び、楽しくないですか？
この問題、いくつかのアプローチを考えておしまい！にするにはもったいないので算数から数学へというテーマでもう少し広げてみます。
（その１）
BDは角ABCの2等分線です。
AE//DBとなるように平行線を引きます。
すると角BAE＝角BEAとなり△BAEは二等辺三角形。BA=BEが言える。
△CDB ∽ △CAEよりCB：BE=CD：DA＝CB:BA
つまり
「角の2等分線は2等分される角の両辺の比で向かい合う線を分ける」
ことが言えます。
これが【角の2等分線の公式その1】と言われます。押さえておきたいですね。
（その2）
角の2等分線を使ってみます。
面積を考えた時に△ABD＋△CBD＝△ABC
ここで30°、60°、90°の直角三角形の辺の比が1：2：√3を使います。
【角の2等分線の公式その2】
（AB＋BC）×BD＝2×AB×BC×cos（B/2）
が成り立つことが分かりました。
（その3）
角の2等分線の公式その2と余弦定理を使うと
(AB+BC)×BD=2•AB•BC•(AB^2+BD^2-AD^2)/(2•AB•BD)
これをBDについて解くと
公式1よりAB•CD=BC•ADを使って
BD^2=AB•BC-BC•AD^2/AB=AB•BC-AD×CD
【角の2等分線の公式その3】
BD＾2=AB×BC-AD×CD
が成り立つことが分かりました。
この公式2を使うと
（5+BC）×3=2×5×BC×cos120°よりBC=7.5と導きだすことができるのでした。
算数では60°が設定上の限界ですが、数学では算数での過程を経ることなく三角関数を使って導き出すことができます。根底にはこの算数での頭の使い方があるんですね。
算数はやっぱり奥が深いです。
余弦定理なんて何十年ぶりかに使ってみました。
公式も覚えるのでなく、導くことが出来て初めて考え方が身につきます。