それでは今朝のブログに記載した問題です。
【問題】
3以上9999以下のある奇数を<a>とします。
この<a>を2回かけた結果を<<a>>とします。では
<<a>>－<a>が10000で割り切れるような<a>を全て求めよ。
つまりa×(a-1）が【2^4×5^4】の要素を持っているということ。
ここでaとa-1を見て何か気づきませんか？
そうです連続する整数です。
またaが奇数であることからa-1は偶数。
そこで「連続する整数はともに互いに素である」という関係が重要になります。
また話が脱線して、それはなぜ？が重要です。
関係する定理としてこんなものがあります
【定理】
二つの整数 の最大公約数が １のとき、mとnは互いに素である
これは数学的には互除法を使ったりして証明します。（ここは省略します）
ただし2つの連続する整数の場合については、2つの数は偶数と奇数。
偶数は2で割り切れ、奇数は2で割ると1あまる。したがって共通の約数は1のみ。
つまり「互いに素である」と言えます。
となると、aは5の倍数かつ奇数から下一桁は5。a-1の下一桁は4になるはずなのでa-1に5の要素は含まない。
したがってaに5が5つ全て含まれるはずで625 （3<=a<=999）の可能性を考える。
a-1は最低限2を4つ含むはずと考えられる。
2^4=16、5^4=625 625÷16=39・・・1
39=3×13より3,13も素数より素因数となりうる。
625×3>999よりaに5が5つ以外の因子はありえない。
したがって3と13はa-1の因数と考えられる。
16×39＝624よりa=625, a-1=624。
a^2-a=390000より10000の倍数となっていて題意を満たすのでこれが全て。
で、必殺技ってなに？
倍数と見るとか、互いに素とかいろいろこの問題にはあるけど、一番はこれかな。
東大の大学入試問題を算数で解く過程というより、「必殺技」にしか興味のない子鉄でした。。。
まあ無理もないか。
遊びの時間として出した問題だし。