昨日は午前中にNNの説明会に行ってきました。
帰宅したらまだ子鉄が塾の宿題をしていたので終わるまでの時間を使って今朝のブログに記載した問題の解説を作ってみることにしました。
【問題】
673個の白玉と809個の赤玉、945個の青玉をいくつかのかごに何個かずつ入れました。どのかごにも同じ色については同じ数ずつ入れたらどの色も同じ数だけあまりました。かごは何個ありますか？ただしかごの数は50個以上100個未満です。
解法としてはとてもシンプルで
809-673=136、945-673=272、136と272のGCM=136、136=2^3＊17
題意に適するのは68なので答えは68個になります。
まずは大人向けに数学的アプローチ。次に算数的アプローチで考えてみます。
（結局やっていることは同じなんですけど。。。）
この問題は典型問題なのでよく問題集で見かけます。
「それぞれの2数ずつの差はある整数で割り切れることを利用してそれぞれの差を出してその公約数を考える」
と解説されています。
箱の数を□として、問題文を算数語にしてみると
673÷□＝a・・・あまり、809÷□＝b・・・あまり、945÷□＝c・・・あまり
（a,b,cは1以上、あまりは共通、□＞あまり、a<b<cとなる）
とここまで考えられるといいでしょう。
673÷□＝a・・・あまり、809÷□＝b・・・あまりの2つの式を比べたら
（673-あまり）と（809-あまり）はそれぞれ□×a、□×bとなるのでいずれも□の倍数と言える。
また（673-あまり）と（809-あまり）はともにおなじ「あまり」を引いているのでそれぞれの差は809-673=136と同じになります。
もうここまででいろんなエッセンスが盛り込まれています。
同じことを繰り返すと136と272はともに□の倍数だから□の最大公約数は136。
□は136の公約数で50～100の範囲ということで68となる。
たしかにあまりは61となり題意を満たす。（ここの検算は大事です。）
では次に算数的なアプローチです。
もちろん「そろえる」「くらべる」を使います。
まずこの問題の個性って何でしょうか？
言い換えると強い制約条件。
それ以外は条件に付随したおまけ。
この問題の個性は
どのかごにも同じ色については同じ数ずつ入れたらどの色も同じ数だけあまりました。
この個性をどう生かすか❗️
まずそこから考えてみます。
これではぜんぜんそろっていませんね。くらべようがありません。個性も見えません。
そこで、あまりの部分を全部左に移して、
これで個性が見えてきて比較ができそうです。
ここでもう一工夫。
赤玉、青玉のかごの中の数を白玉と同じ数とその端数にわけます。
（例えばかごが10こあって、1つのかごの中の白玉が5こ、赤玉が7ことしたら
かごの中に仕切りをつくったようにして、（赤玉5こ＋赤玉2こ）×10にすると赤玉5こと白玉5こは同じ数になります。）
白玉の数にそろえたことで、差が明確となりくらべることができそうです。
赤玉は白玉より多い部分の個性136こが見えました❗️
白玉の数をはみ出た部分136個、272個も結局□の倍数となります。同じ□の倍数ということは、□は公約数となる。あとは□の最大公約数は136。
□は136の公約数で50～100の範囲ということで68となる。たしかにあまりは61となり題意を満たす。
こんな風にしてそろえてくらべることで個性(差)を浮き彫りにして解くことができました。
いかがでしたでしょうか。
これが私が福島式という国語の教材なのに学んだ算数の考え方でした。