子鉄と取り組んだ問題の題材が面白かったので紹介です。
【問題】
1と2のみを用いた足し算の計算式で、答えが5になるものは、
1＋1＋1＋1＋1＝5
1＋1＋1＋2＝5
1＋1＋2＋1＝5
1＋2＋1＋1＝5
2＋1＋1＋1＝5
1＋2＋2＝5
2＋1＋2＝5
2＋2＋1＝5
の8種類、作ることができます。
それでは、答えが10になるような、「1と2のみを用いた足し算の計算式」は、何通り作ることができるでしょうか。
私は、2の数の場合分けを考えたら5パターンあり、仕切りの考え方を使って
10C0+9C1+8C2+7C3+6C4+5C5＝89通り とまずは考えました。
もちろん答えを出すだけならこれで十分なのですが、待てよ、
合計1の場合 1通り
合計2の場合 2通り
合計3の場合 合計3は「合計1と2」と「合計2と1」の2つの場合が考えられ、＜合計1＞と2および＜合計2＞と1から1+2＝3通り
合計4の場合 ＜合計2＞と2および＜合計3＞と1から2+3＝5通り
となっているではありませんか！
つまりフィボナッチ数列になっています。 理由は上記のとおり。
ためしに計算してみると、
合計5の場合 3+5=8通り、合計6の場合5+8=13通り、合計7の場合8+13=21通り
合計8の場合13+21=34通り、合計9の場合21+34＝55通り、合計10の場合34+55=89通り
と同じ結果になりました。
フィボナッチ数列は生活の場面でもいろいろなところで現れる不思議な現象です。
算数の問題集では「１段ずつと１段飛ばしで何段かの階段を上る」問題を見かけます。
他には、「大相撲で15日の取り組みで2連敗しない星取りの組合せ」もフィボナッチ数列になるようです。理由は2連敗以上しないということは次の2つのケ－スがあります。
場合1： (Ｎ－1)試合目までがどうであれ、Ｎ試合目に勝てばいい。つまり（N-1）の場合の数と同じ。
場合2： Ｎ試合目に負ける場合は、 これは(Ｎ－1)試合目が勝った場合にのみ許されます。(Ｎ－2)試合目までの勝敗は問われず、そのあとは（勝ち）⇒（負け）の1通りから、（N-2）の場合の数と同じ。
つまり（N）の場合の数は、「（N-1）の場合の数＋（N-2）の場合の数」となる。
同じフィボナッチでも、出題の仕方がたくさんあって、作り手の工夫が見えて楽しいですね。