おはようございます。
子鉄との朝強でこんな問題を目にしました。
（問題）
下の図はある決まりにしたがって四角形に直線をひいて、四角形を分割しています。
決まり①それぞれの直線は四角形の内側で必ず交わる。
決まり②3本以上の直線は1点で交わらない。
たとえば1本の直線では四角形を2分割、2本の直線では4分割、3本の直線では7分割します。
（１）5本の直線では何分割しますか？
「図形の規則は数字を並べて考えるといい」と塾で習いますが、要は言葉を数字に置き換えて「見える化」しましょうということ。
図を参考に直線の数と部屋の数を並べてみると以下のようになります。
直線（本） 0 1 2 3 4
部屋（個） 1 2 4 7 11
もう規則が見えましたね。
部屋の個数は階差数列になっています。
部屋の数は1,2,3,4,と増えているから5本なら5つ増えて答えは16。
問題集を見てると、
「(n-1）本の直線がすでに引かれているところにn本目の直線を引くと部屋がn個増える」
理由が説明してありますが、子供はだいたいこの結論にしか目がいきません。
ここで終わるのが「数字遊び」。
単に数字を並べて規則が見えたから答えを出したにすぎません。だって5本の時に16個になるなんて推測の域を出ていないからです。
なぜそうなるのかを考えて、記号である「数字」に意味を加えて「数」にしてあげるのが「数遊び」。
遊びの要素が強いから低学年向けにあえて「勉強」としませんでした。
漢字もただ読み方、書き方を覚えるのは記号を覚えるのと同じ。構成されている「へん、つくり」などの7つの構成要素にまで気を配ってみると漢字が持つ意味まで理解できます。１年生からでもできることです。
話を戻して、5本の時に16個になるのはなぜなのでしょうか？
直線によって分割された部分の1つ1つを「部屋」とすると、新たに直線を引くときにいくつの部屋が新たに分割されるかを考えます。
新たに直線を引くと、すでに引かれている全ての直線と1回ずつ交わります。
たとえば2本の直線がすでにひかれているところに3本目の直線を引くと、新たに2か所で交わります。
このとき、交わる点の前後で異なる部屋を貫いていることに注目すると3本目の直線は2+1=3個の部屋を貫きます。つまり部屋が3つ増えます。(n-1）本の直線がすでに引かれているところにn本目の直線を引くと、部屋がn個増えることになります。
従って4本の直線がすでに引かれているところに5本目の直線を引くと部屋が5個増えることになり11+5=16個となります。
定理の話ついでに
塾で「メネラウスの定理」や「チェバの定理」を習うと便利なので子供は使いたがります。なぜそうなるのかを理解したうえで使うのであればテストという限られた時間の有効活用のためには使っていいと私は思います。けど理由もわからずして、基本となる平行線を引くことをおろそかにしていたらあとで必ず行き詰ります。
ちなみにこの問題を高校数学へ拡張すると漸化式が登場します。
上記の理屈がわかれば、ｎ本目の線を引くと新しい領域がｎ個増えることがわかり
式で表すとＳn＝Ｓn-1＋ｎ （n>=1)
またｎ本の直線は平面を最多で（ｎ^2＋ｎ＋２）／２の部分に分割することが導けます。