リブログのリブログになってしまいますが、
luckyheroさんが日能研のテキストの円の単元で、
”円の面積は、「円周 x 半径 x 1/2」でも求められる”
という記載があると紹介してました。
さらっと書いてあるテキストですが、円の面積の本質をついた視点だと思います｡
通常、円の面積と言えば、半径×半径×円周率（π）で表します｡
私は今まで円の面積をこのようにとらえるとは考えたことがありませんでした｡せっかくの機会なので、これについて考えてみる事にしました｡
（子鉄の塾が終わるまで大阪へ出発できないので、その時間を使って・・・）
たしかに
π×r・r = π×r・r×2÷2
= 2πr×r÷2
= 円周×半径×1/2
と式の変形ができます。
でもこの式の変形って何を意味しているのでしょうか？単なる式の変形？
これに対する回答として、Saruさんが
「高校生なら∫2xπdx (x 0→r)
＝2・1/2 ｒの2乗・π
＝2rπ・ｒ÷ 2
＝円周・半径÷２ （小学生）
面積は一断面つまり2xπdxのxを0からrまで変化させてそれを積みかさねたものである！！」
と証明されています｡
そこでわたしは小学生レベルでもイメージでとらえられるように式の意味するところを考えてみました｡
厳密さを欠いている部分もありますが、そこはご容赦下さい｡
まず導入として、「たて3cm、よこ4cm」の長方形の面積から。
小学校では、長方形の面積は「たて×よこ」と習って12cm2と出します｡でもどうして「たて×よこ」で面積が出るのでしょうか？
面積と言うのは読んで字のごとく 「断面を積み重ねたもの」。高校では「面積とは積分」と習います｡
小学生向けに
たて3cm、はばが限りなくせまい棒をたくさん用意します。たての長さをそろえて、よこにすきまなくならべた時に全体の横幅が4cmとなります。だからこの積み重ねた棒の集まりを考えたら「たて3cm、よこ4cm」の長方形となり12cm2。
では三角形は？
これも同じで「底辺4cm、高さ3cm」の三角形とします。頂点を平行移動させると「たて3cm、よこ4cm」の長方形の半分となるので3×4×1/2と計算できます｡
見方を変えると平均1.5cmの棒をよこにすきまなくならべた時に全体の横幅が4cmと考えたら(3×1/2）×4=12とも考えられます。
さて、本題の円の面積の「円周×半径×1/2」の式の意味って分かりますか？
円周に半径をかけるって？
さらに1/2をするってどういうこと？
実は意味がありました。
先ほどの棒が円に変わります。
はばが限りなくせまい円を考えます｡
いろんな大きさのフラフープをイメージしてみてください。はばがありますね。
半径3ｃｍの円の面積はπを使うと3・3・π = 9π。
限りなく小さな半径の円からすきまなくくっつくように円をどんどん並べて行きます｡すると出来上がるのは、半径3cmの円です。
つまり先ほどの棒が円になった時に、円周は2πr（rは0→3）。
限りなくはばがせまい半径 r が 0から3までとりうる円をつみかさねた合計が円の面積と言えませんか。
そして今度はこのできあがった円の一部を切って、伸ばして直線にして立てた状態でよこにすきまなく重ねて並べていきます｡
すると長さ0から6πまで2πrの長さの棒がずらっと並び、三角形ができます。
底辺が棒を並べた厚み3cm、高さ2πr = 6π。
三角形の面積の出し方を利用して円の面積＝三角形の面積＝ 6π×3×1/2 = 9π。
つまり「円周×半径×1/2」となりました。
（半径とは重ねた円の厚みの合計、1/2は三角形の面積を出す時の1/2だったんですね）
円の面積とは
幅が限りなくせまい円を積み重ねたものの集まり
ということから導き出しました。
バームクーヘンのようですね。
したがって円の面積を微分すると円周になるとはこういう概念が背景にありました。
なおπr^2の証明で円の方程式を使って考える方法もありますが、私はこちらのほうが本質をついているように思います。