今朝の、NN.Jrのチラシにあった問題に朝にもかかわらず取り組まれていた早さにはおどろきました。
実はこの問題に似たものを、1ヶ月前に目にしていたそうです｡（言われてみればそうかなとも思いましたが記憶が薄い)
そして、皆さんのアプローチは多少の違いはありますが概ね同じ補助線が見えたようですね｡
（私には合同が見えなかった・・・）。理由はあとに記載しています｡
私はこの問題の条件を読んだら、違う補助線2本が見えてその方法で解きました｡
Saruさんの解き方の方がスマートだと思いますが、参考までに書いておきます｡
結局まわりくどい解き方になっていますが｡
まず私がこの問題を見たときの心の動き､方針を立てるまで。
おお、3本の平行線ね｡それに直角2等辺三角形ですか。となると、平行線から同位角、錯覚を考えての合同、もしくは相似形を探すのね｡二辺が等しく、底角も等しいね｡そしてBDを求めるなら△ABCの面積をBDを底辺、高さ22cmとする三角形の面積で2通り示すことでBDが逆算できるな｡△ABCの面積を求めるなら、△ABCは正方形の半分、ACは正方形の対角線だからACの2乗さえ求められればOK。（ここまで30秒）・・・ここでACに目が行ってしまったのです｡
じゃあACはというと、まずはAからウに向かって垂線をひいて三角形を作って。今度はBからACに向かって垂線をひいて。ほら相似な図形ができた。2辺の相似比も直角ニ等辺三角形の性質を考えれば11:9と出せる｡
それから相似の関係を利用したらAC^2が出るな｡（ここは三平方の定理を使っちゃいました）
あとは最初の方針からBDを出しておわりだな。（ここまで2分）
（計算の結果）あれ数字がきたないぞ？けど、だいたい18.3cmだからそんなもんになるだろうからおかしくないでしょう。
（ちゃんと検算しました・・・・検算まで入れて5分）
こんな感じの心の動き、目の動きをしながら解いてみました。
ここでは、
①：平行線とくれば同位角、錯角を考える｡
②：①を利用して合同、相似形を見つけるか作り出す｡
③：直角二等辺三角形の性質から頂角から降ろした垂線は底辺を2等分し、かつまた直角ニ等辺三角形が2つうまれる。それに円に内接し、ACが直径になることも合わせて確認。
④：平行線による相似図形から三角形の辺の比が利用可能。
⑤：直角二等辺三角形は正方形の1/2。対角線の長さからも正方形の面積は求められる｡
⑥：三角形の面積は底辺と高さをどう見るかでいろいろな求め方が出来る。
という基本事項の組み合わせだなと瞬時に浮かんだので合同までは目が行かなかったようです｡
ちなみに対角線の2乗を求めるのに三平方の定理を使ってしまいました。
三平方の定理は夏合宿で習ったそうです｡相似を使えば実質的には三平方の定理を知らなくても算数だけで導きました｡