2025年3月に春期講習の放送あり。その単発放送と、シリーズ最終回の秋山仁のトークで気になっていた内外逆転変身についてメモしておく。敢えて2つを関連づけると、どちらも数学界の元素の話だと言える。
＜ネットより＞
（１）春期講習
「2025」って数字は確かに特徴がある。40×40＝1600年は関ヶ原とか44×44＝1936年は二・二六事件とか、それはやや強引で偶々でしょ。
平方数：45×45＝2025
45個の平方和：1＋3＋……＋89＝45×45＝2025
9個の立方数の和：1^3＋2^3＋……＋9^3＝2025
フォー・フォーズは3,5,7を苦労したので忘れないように書いておこう。
３＝（４＋４＋４）÷４
５＝（４×４＋４）÷４
７＝４＋４―（４÷４）
4以上の偶数は2つの素数の和で書けるってゴールドバッハ予想。素数は数の原子だからそうなのかも。でも、これが証明されてもその先に新たな発見がるとも思えない。
目付字を初めて知る。5つの枝と2進法の5桁、それに短歌の31文字を組み合わせたトリックが室町時代に使われていたことに驚く。
（２）内外逆転変身
シリーズの最終回に紹介されていた「内外逆転変身」について、秋山仁のネット文章を読んでみた。
※参考：美の背後に潜む数理
https://www.mathsoc.jp/publication/tushin/1702/1702akiyama.pdf
確かに四面体で平面充填できるけど「四面体タイル定理」は面白い。エッシャーも知っていたんだろうか。対称群の17種はある本を読みかけて理解できていないのでまたいずれ整理しよう。
四角形に4つの切れ目を入れてチェーンで結べるようにしておけば、等面積の三角形に変身できる。元々は辺を構成していた部分が三角形になると全て面の内側に吸収されてしまい、新たな辺が出てくるのが不思議。ギリシャかどこかで円と同面積の正方形を作る議論があったと思う。ある意味でそれより不思議。面積は同じでも辺の長さは長くなる。三角や四角は不連続で微分できないので何も敷衍できず話を繋げられない。他方で、円の面積πr^2を半径rで微分すると円周の長さ2πrになるのを思い出したけど、三角や四角では微分もできないし話としては詰まっている。
立体では切頂八面体2コを上手く納められる。空間充填できるのは5種類と書かれており、しかもお互いへ表裏逆転変身できるとか。すっとイメージできないけど、テトラパック（正四面体）では充填できないのか。
また、数学の元素は素数であり、2次元図形の元素は三角形（三角形分割できる）。それが3次元になると
・5種類の正多面体の元素が不格好な4つの元素で構成（3次元正多胞体元素定理）
・平行多面体5種類の元素が雌雄の区別ある5面体（ペンダドロン）で構成
となるとか。均整の取れた美しさに落ち着くいつもの数学とは違う結論に至ることがなんとも意外だった。もちろんデーンの不変量は理解できていない。