知ってることは本当にそうなのか。

面白い記事を見つけたので、

ぜひ読んでみて。

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『小学生のころ「1+1」で強迫神経症に。』

「1+1=2」が理解できなくて、

勉強につまづいてしまって

強迫神経症になった方のお話。

病院の先生の一言で

「間違ってもいい」

「忘れてもいい」

と知って、助けられたんだって。

そんなふうに言ってくれる先生っていいよね。

そして、読みながら思ったのは、

世の中あたりまえだと思ってることって、

本当はそう思ってるだけで、

わかってないやん！

ということ。

1+1=2

なのは、

そう習うから知ってるけど、

「なぜ」1+1=2になるのか説明できる？

ぼくは

「1+1=2だからだよ。」

としか説明できないなぁと、ふと気づいたんだよね。

実はこれ

大学の数学科で勉強する内容なんだって！

下に囲っておいたけど、全く意味わかんない....(￣∇￣;)

あ、カッコ内は読み飛ばしてもらったらいいから。

０．記号の説明

　n∈Nは「nは集合Nの元」または「nは集合Nに含まれる」ことを意味し、X⊂Yは集合の包含関係、すなわち「XはYの部分集合」であることを表す。またf○gは「写像fと写像gの合成」を意味する。s(N)は「写像sによるNの像」を表す。

１．自然数の体系

　まず、自然数とは何かと突き詰めていくと、次の公理を満たすものであることが分かる。

　集合N、その中の一つの元0（今は便宜上集合Nにゼロを含めて考える。そうしたところで「１＋１＝２」の証明には何ら差し支えない）、および写像 s：N→N の組 (N,0,s) が次の公理を満たすとき、Nの元を自然数と呼ぶ：

(P1) s：N→Nは単射である。

(P2) 0はs(N)に含まれない。つまり任意のn∈Nに対してs(n)≠0

(P3) S⊂Nで、0∈Sかつs(S)⊂S（すなわちn∈Sである任意のnに対してs(n)∈S）ならば、S=Nである。

　これを「Peanoの公理」という。これから先の話はこれを前提として話を進める。

　新しい用語として、n∈Nに対してs(n)はその「後継者」、写像sは「後継者写像」と呼ぶことにする。 

２．帰納的定義の原理

　以下に述べる定理が、これからの全てのキーとなる。この証明のよりどころは上記Peanoの公理のみである。

【定理１】Xをひとつの集合とし、Xの一つの元xと写像t：X→Xとが与えられたとする。その時次の性質（１）（２）を持つような写像f：N→Xがただ一つ存在する：

（１） f(0)=x

（２） 全てのn∈Nに対して f(s(n))=t(f(n))

（証明）本来これが全てのよりどころなので、証明すべきであろうが、あまりにも長く難解なので、証明はfiubengaさんの言うとおり本に譲りましょう。

　この定理から特に、Peanoの公理の完全性、すなわち公理を満たすべき体系は一意的であることも示される。

３．自然数の加法

　定理１を用いると、自然数の体系に加法を定義することが出来る。

【定理２】mを与えられた自然数とするとき、

(A1) f_m(0)=m

(A2) f_m○s=s○f_m

を満たす写像f_m：N→Nが一意に存在する。

（証明）定理１においてX,x,tをN,m,sとして適用すればよい。（終）

　任意のm,n∈Nに対してf_m(n)をm,nの「和」とよび、「m+n」と書く（この時点では我々のなかの「当たり前」、例えばm+n=n+mのような法則が成り立つかどうかはまだ未知である。それをこれから確認していく）。条件(A1)(A2)によって

①　m+0=m

②　m+s(n)=s(m+n)

である。またNの恒等写像も明らかに(A1)(A2)を満たすから、全てのnに対して

③　0+n=n

である。さらに少々面倒な計算の後

④　s(m)+n=s(m+n)

も導ける。これら①から④によって、我々の「当たり前」すなわち「交換律」m+n=n+m、「結合律」(l+m)+n=l+(m+n)という、自然数に於けるもっとも基本的な法則を導くことが出来る。すなわち

【定理３】自然数の加法は交換律、結合律を満たす。

４．「１＋１＝２」の証明

　上記のような予備知識を経て、我々はやっと本題にたどり着くことが出来る。まずその前に「１＋１＝２」の何を示したいのかを考えておく。それは、

　（＊）『「１」の後継者が集合Nのなかに存在する』

ということである。「２」という記号はあくまで「記号」であって、重要なのはその「２」という「記号」によって表される数が、きちんとPeanoの公理に基づき、集合Nのなかに存在するかどうかである。

　さて、s(0)、つまり「0の後継者」を「１」という記号で表せば、①②によって

⑤　s(n)=n+1

である。すなわち『後継者写像sは、“「１」を「加える」写像”n→n+1 に他ならない』のである。

　ここまでくれば「１＋１＝２」を示すことが出来る。

　s(1)、つまり「１の後継者」を「２」という記号で表せば⑤より

　s(1)=1+1

　∴ 2=1+1 （証明終）

数学は全くダメなので、見てるだけで具合がわるくなる。。。。
この証明の方法もどうやらいろいろあるらしい。
今回の参考はこちら。

別にわかんなくてもいいんだけど。

こどもの感覚って、それをちゃんと「わからない」って捉えることができるんだねー。

こどものころって真っ白な状態で、

そこにいろんな常識や習慣に染められていく。

いろんな経験や勉強を経て

だんだんと自分のものさしができあがって

ものさしで判断するけど、

それって危ないことなんだなぁって思う。

世の中のことって

わかったつもりのことや

あたりまえだと思ってることって

全然あたりまえだったり、普通だったりしない。

自分の持ってる「あたりまえ」とか「普通」や「常識」、

一回離れて考えてみるのって大事なんだと思う。

実際、1+1=2もよくわかってないんだしねー。

でも数学的な証明や理由を知らなくても生きていけるじゃない？

だから、

細かいことにこだわんなくていい。。

いろんなことを間違っても、忘れてもよくて

しあわせって思えることのほうがずっと大事。^ ^

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