黄金比

■最近の記事

最近、話が趣味に寄りすぎているので、そろそろ軌道修正しようと思います。

先日の記事の中で、つぶ貝の美味しさは「黄金比的」であると表現しました。

また、感極まって、入試に出るなどと言ってしまいました。

さて、それは本当でしょうか。

今日は、世の中で何となく信じられていることについて書いていきます。

■黄金比(Golden ratio)

簡単に言うと、黄金比とは、約 1:1.618 のことです。

正確には、1:  $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$  となります。

「黄金比っていうのは自然の中にたくさんあるんだよ！」

算数キッズはこう語ってくれます。

さて、それは本当でしょうか。

何かを学ぶのに素直さは必須ですが、多少は疑う気持ちが残っていると、なお良いと思います。

■自然界の黄金比

「自然界に現れる黄金比」の代表として、「オウムガイ」があります。

あまり言ってはいけないのかもしれませんが、「オウムガイ」の中に「黄金比」は存在しません。

オウムガイの螺旋(青) と 黄金比を元にした螺旋(赤)

青の線はオウムガイの螺旋、赤の線は黄金螺旋です。

明らかにズレているのが分かりますか。

2本の曲線を数式で表すと、次のようになります。※極座標(r, θ)  a>0 とした概算

青色の式(オウムガイ)     r = ae^0.1853θ

赤色の式(黄金螺旋)        r = ae^0.3096θ 

残念ながら、似つつも別物です。

このことは、オウムガイと黄金比が無関係である事を示してしまっています。

黄金比とは、極めて理想的な概念の産物であり、人工の産物なのです。

■人工の黄金比

「モナリザ」

「ミロのヴィーナス」

「パルテノン神殿」

…

これらは結局のところ、全て人工物です。

昔から人は、自然の中にある美しいものや複雑なものを、「単純化して解き明かす」という夢を追い続けてきました。

その軌跡を、いくつかご紹介します。

■五芒星

五芒星(5角形)の中には、たくさんの黄金比が現れます。

五芒星は、その不思議さから、国によって魔除けのシンボルとも、悪魔の象徴とも、様々な扱いを受けてきました。

左:陰陽五行思想                    右:デビルスター

自然の摂理を説明するという役割は、かつては主に宗教が担ったからです。

その時代、宗教と数学は不可分でした。

■現代的解釈

x⁵ = 1  という単純な 5次方程式を考えます。

解を求めるには、次のように計算します。

 

 

(x − 1)(x⁴ + x³ + x² + x + 1) = 0

 

 

さらに解いていきます。

 

 

(x − 1)(x² + $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ x + 1)(x² + $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ x + 1) = 0

 

 

 

不思議と、 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$   という黄金数(1.618)が現れます。

 

 

 

■オイラーの等式

次の簡素にして美しい数式は、小説や映画でも有名になりました。

 

 

${\displaystyle 1}$

 

 

これを力を込めてコネコネすると、次のように変形できます。

 

驚くことに、これは正確に黄金数(1.618)を表しています。

 

不思議ですよね。

 

 

 

ところで、黄金比の話をすると、何となく「5」がいっぱい出てくると思いませんか。

 

√5、五芒星、5次方程式、e^πi/5 …

 

これ以上のお話は、またいつか書きたいと思います。

 

 

 

■本来のブログの趣旨

 

今日は勢い余って、オウムガイの黄金比を否定してしまいました。

 

ただし、つぶ貝の肝の黄金比的な美味しさを否定することはできず、特に刺身で食べるとそれは、と。

黄金の経験(Gold experience) 

 

小難しい話をしてみたものの、けっきょく話が元に戻ってしまうのでした。

 

 

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