子供達はもうエプロン卒業したのですが、
試行錯誤してこれはよかったと思ったので載せてみます。
シリコンエプロンの方が匂いつかないし、汚れ取れやすいみたいだから買い替えようかなーと思ってたのですが、これがずぼらーな私には1番楽でした。
エプロンは洗濯できるもの（お湯につけたら縮む素材じゃないもの）を用意。
私は西松屋でソフトな生地（防水加工あり）の３枚組千円弱（セールだともう少し安いかも）のものを買いました。
１ 熱湯をわかす（片手間にポットつかってわかしています。鍋でお湯をわかす必要があるならこの方法は面倒くさいです。ごめんなさい。）
２ エプロンはさっと汚れを落としておく（食べかす落としてかるくすすぐ）
３ バケツなどの容器に熱湯を入れ、エプロンを入れてひたす（やけどに注意）
４ しばらくしたら取り出して洗濯ネットに入れて洗濯
熱湯につけるので、絶対子供の手の届かないところに置く必要がありますが、これでカビも生えず、匂いも取れます。
最初は漂白剤とかつけてましたが、熱湯だけでも大丈夫でした。
私はシンク（こどもは届かない）にバケツを置き、お風呂に入ってから取り出して洗濯機に入れていました。
ケチャップとか、ソースみたいな結構激しい汚れは先に食器用洗剤でゴシゴシしてからお湯につけました。
西松屋のしか使ってないですが、エプロンの受け部分をくるっと元に戻すと食べかすが取れやすく、よかったです。
この方法はガッツリ熱湯につけるので優しい手触りとか、退色させたくないような高級エプロンにはおすすめしません。
よかったら試してみてください。