たけしのコマネチ大学数学科#76 2008年1月31日 深夜OA
今回のテーマは、
「ラグランジュ」
特別集中講座 ビートたけし 
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脳が目覚める 竹内薫 中村亨 
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竹内 薫 
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竹内 薫 
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オイラーと並ぶ、18世紀最大の数学者、ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ。
その天才に、今夜は迫ります。（エミー賞以来、真面目になった戸部アナ）
＜テロップ＞
ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ（1736～1813） イタリアの数学者。
--ランキング参加してます。１回押してくれると嬉しいです
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エミー賞ノミネートされた効果で、またまたタカさんから報告。
フジの編成局長褒賞に選ばれました～～。 盛り上がる一同。
この賞は月間視聴率が18%を越えないともらえないが、今回は特別に頂いたと。
（昨年は、スマスマ、はねトび等）
コマ大：
ダンカン部長 〆サバアタル アル北郷 お宮の松
ここで、コマ大チームは、褒賞がもらえるのには理由があると言うことで、
＜フジテレビ編成局長褒賞 受賞理由ベスト３＞
＊コマ大生の頑張り！ （←私も、これには拍手です！）
＊スタッフの情熱！
＊マス北野皆勤！仮病休みなし （←そうなんだ・・まだ飽きないんだ）
先生からラグランジュについてちょっと説明。
＊マリー・アントワネットの数学教師であった。
＊最小作用の原理に基づき解析力学を創出。
ちなみにマス北野は、今回もポヌさんとチームを組む。もうレギュラーなの？
さて本題。
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Q：
図のような形の立体で、ある一定の体積を持つ物の中で、
表面積が最小のものがあります。
図の部分の長さが3の時、Xの部分の長さを求めなさい。
タカさん+先生の補足：
体積は一定なので、Xを変えることによって鉛筆形の筒の長さが変わる。
ヒントとして、途中で体積の値を出します、と先生。
コマ大の検証：
お宮の松がトイレが長くて、3人でオープニングが始まった今回は、
冒頭、ラグランジュから連想される物として、アル北郷は
「歌舞伎町のラグランジュリーパブ」という、お約束もでた。
さて検証は、4人が決まった体積の粘土を様々な鉛筆型にする事で、
表面積を比較し最小を採用する。表面積測定は、それぞれの出来上がりに、
定面積の正方形折り紙を貼り付けて枚数を数えるという素朴な方法。
粘土の体積から鉛筆先の”３”の部分を”６”として、あとで換算することにした。
30分後。 ここで皆の鉛筆型立体を発表。（BGMは何故かスーパーマリオ）
ダンカン部長：オーソドックス型
〆サバアタル：うどん麺棒型 （←讃岐うどんでお馴染み、香川県出身なので）
お宮の松：細長型 （←ラッピングの時のことを考えて）
アル北郷：パオ型 （←とにかく詰め込んでみた）
筒の長さが長い順に、細長型、うどん麺棒型、オーソドックス型、パオ型となった。
ここから、折り紙を貼って枚数を数えると・・・
アル北郷 ： 12.5枚
〆サバアタル ： 15.3枚
ダンカン部長 ： 13.67枚
お宮の松 ： 24枚
と言う事で、アル北郷のXの部分（円柱の半径）を測定。（→答えはスタジオで）
検証時間：2時間10分。お疲れ様でした。
タカさんの決め文句が新しくなった。（歌舞伎風）
Gaude discere！ （学ぶ事を楽しめ）
対戦開始！
恐らく一つは微分を使う方法がある。が、かなり難しいので、
何か別の方法を工夫すると良い、
ラグランジュの方法も微分を使うのだが、それのほうがずっと簡単と 先生。
東大生は、早速X,Y,Vと置いて体積の式を立て、計算をしている。
どうやら表面積の式を微分しそうな勢い。
マス北野チームはS=2πχ（L+1）・・・と式を立て、先生に体積を聞きに行く。
先生から体積は”61.3”です、と早速ヒントを発表。
＜東大生プチ情報＞
今回は、それを発表する余裕もなく、東大生大苦戦！！
体積さえ出れば、と言っていたマス北野は微分すると言い出したが・・
計算はポヌさん任せ。
東大生は普通の微分の方法で解いていて、いまだ苦戦中・・・
余裕のコマ大生は、褒賞で駄洒落。
「ほうしょうをもらったよ！」 「ほ～しょうかい」 byお宮の松
他には、「相撲しよう ほーしよう」 「餃子の ほーしょう」とか・・
みな不完全なまま終了
TIME UP！！
竹内 薫 
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北 野 宏明 
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徳永 太 
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竹内 薫/古瀬 恵一 
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1%は直感力 竹内薫 
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天才たちの 華麗なる喧嘩 竹内 薫 
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処理ソフト 竹内 薫 
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恋をする? 竹内薫 藤井かおり 
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不思議な科学の 世界を語り明かす 竹内 薫 
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竹内 薫 
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Ａ：
コマネチ大学生の解答
答え、2.35 //
解説：粘土の体積に比例して検証した結果（4.7）を半分にした。
マス北野の解答
答え、ポヌさんが0.64 マス北野が4.4 //
解説：ポヌさん
面積の式を立てて、＝０として、ｘを求めた。
（解説式は細かくてよく見えなかったが、先生が「微分して０ですか・・」と
呟いていたので、面積の極小値を求めたのだと思う・・）
解説：マス北野
筒の部分の表面積S=2πχ（L+1）の筒の長さ（L）が０なら一番小さくなる
のではないかと思い、計算したら4.4になった。
東大生の解答
答え、2.8 //
解説：（木村さん） （注：以下χをXと表現したりしますが、同じものです）
筒の長さをYとして、
体積V（61.3） = χ^2π( Y - 1/3*√(9-χ) )
Y = (61.3/χ^2π) - 1/3*√(9-χ) )
面積S = χ^2*π + 2χπY + 3/2*χ
dS/dx = 2π(χ+Y+3/2)
ここにYを代入すると、大変そうなので、目星をつけようと、
√(9-χ)≧０なのでχ≦３とか、条件をつけながら、χ＝２～３の間で、
面積の式に一つ一つ数字を代入して最小になるところを力業で解いた。
正解は、 なんと、√５ ！！
全員不正解。値としてはコマ大が近いが・・
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美しき数学の時間 （先生の解説）
まずは、筒の長さをY、3の部分をZとして、体積と表面積を求める式は
表面積 = πχ^2 + 2πχY + πZχ ……… ①
体積 = πχ^2 *( Y + 1/3*√(Z^2-χ^2) ) ……… ②
体積がわかっていれば②式からYを解いて、①式に入れます。
すると①式がXだけの式になり、微分すれば答えが出ます。
ところが計算をしてみると物凄く大変。
ずるく考えると、答えが綺麗な値になることを考えて、
√（9-χ^2 ) の√の中が綺麗になるのは、
X=√５だと気付くかもしれなかったが、そうじゃないと大変です。
汚い解法例：グラフで解く。
S =πχ^2+2*(61.3/(πχ^2)-(1/3*(9-χ^2)^.5))*πχ+3πχ
と約２．２の√５ッポイところが答えみたいだと・・
＜ラグランジュの未定乗数法＞
F（X,Y,Z) = 表面積①式 + λ(未定乗数) * 体積②式
πχ^2 + 2πχY + πZχ + λ*( πχ^2 *( Y + 1/3*√(Z^2-χ^2) ) )
一定だと言う条件式にλ(未定乗数)をかけて足してしまう。
そして、X,Y,Zで微分をして、それぞれを０とします。
∂F/X∂= π(2χ+2Y+Z) +λ*2πχ( Y + 1/3*√(Z^2-χ^2) ) = 0 ……… ①
∂F/Y∂= λπχ^2 + 2πχ = 0 ……… ②
∂F/Z∂= 1/3*λπχ^2 * ( Z/(√(Z^2-χ^2)) + πχ = 0 ……… ③
②からλ＝-2/X ……… ②’
λを③に入れると、X = (√５)Z / 3 ……… ③’
λとXの値を、①に入れます。 Y = (1+√５）Z / 3
すると、X：Y：Z = √５ ：1+√５ ： ３ という比が得られる。
なので、体積がわからなくても、Xがわかる。
条件式を解いて元の式に代入すると、物凄く複雑になってしまった時に、
それを避ける方法として考え出されたのが、この未定乗数法であるという。
今回の問題では、Z=３なら、X＝√５であり、体積は約61.3、表面積は約82.3。
＜どんなところに応用されているか＞
意外に経済の分野で使われているという。
経済学を学んだ戸部アナはキョトンとしているが・・・オイオイ！
例として ガソリンを上げ、F＝国民の満足度、ｇ＝ガソリン供給量、λ＝ガソリン税
とすると、λが小さいとドンドンガソリンを使ってしまうので、λ＝税をかける
ことにより、使う量が控えられて、ある一定量のｇに落ち着く。というもの。
＞＞その上には工場での材料と・・・と例があったが、説明はない。
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今週のフィールド賞：
√５と数字が近い、コマ大チームに！！
（中村先生よりやさしい竹内先生）
貴族が平民に負けたというマス北野。
エンディングテーマ （変わった）
「AGORA」 Rie (コロムビア・ミュージック・エンターテインメント)
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★あとがき
ラグランジュと聞いて、ラグランジュポイントを思いだした。
正確には何だったっけな～と思って、 wikipediaのラグランジュ点 でお勉強。
なるほど、思い出した。昔、宇宙ステーションのことについて書いた本かなにかで
読んでいたんだと思う。
--ラン キング参加してます。ここを１回押してくれると嬉しいです
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講師：竹内薫
（科学作家 東大理学部物理学科卒）
竹内先生のOfficial Site http://kaoru.to/
解答者：
マス北野
ポヌさん （ベナン出身・マス北野の助っ人・ゾマホンの友人）
木村美紀（東京大学薬学部4年）
松江由紀子（東京大学農学部4年）
コマネチ大学生
ダンカン部長 〆サバアタル アル北郷 お宮の松
2008/01/31 深夜OA
コマネチ大学の前回までの記事
http://ameblo.jp/chablis/theme-10002941350.html
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