- コマネチ大学 #38
- たけしのコマネチ大学数学科#38
- 2007/02/22 深夜OA
今回のテーマは、
「モンモール問題」
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1708年にフランスのモンモール氏がトランプ13枚を用いた問題に由来し、
あのオイラーが研究したことでも有名なんです。 （戸部アナ）
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中村先生からの説明。
よく切ったトランプのＡ，２，３，・・・・，Ｊ，Ｑ，Ｋの13枚を二組用意し、
上から同時にめくっていく。最後まで同じ数字が出ない確率を求めよ
というのが「モンモール問題」という。
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Q: 問題
パーティーに参加した6人が、各自一つずつ用意したプレゼントを
交換しあいます。この時、自分の用意したプレゼントを貰うことがないような
交換の仕方は、全部で何通りあるでしょうか。
先生からのヒント：
１．コマ大のVTRをヒントに、少しずつ人数を増やして考える。
２．4人の場合を考える。そして何か漸化式が作れないかなぁとやってみる。
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Ａ： 各チームの解答
◆コマネチ大学生の解答 （戸部洋子祭り！これは面白かった）
来る2月25日は戸部アナの誕生日。
そこで全員戸部さんになって、誕生パーティー。
6人で実際にプレゼント交換をして、場合の数を数えてゆく。（地道な作業）
交換するときには、ダウンタウン・ブギウギ・バンドの「港のヨーコ・ヨコハマ・
ヨコスカ」の曲に乗せて、「メガネの洋子・千葉県・検見川～～♪」と歌って
交換する。（笑える）
最初に6人が輪になり、プレゼントを隣に回してゆく （5通り）
2人ずつペアで交換する （それぞれの組合せで、1通り）
次は3人の組を作り・・・・ 5時間後終了！ 総時間6時間30分
答えは、265通り
◆マス北野の解答
全ての場合は、６！= 720通り。
ここから、問題に当てはまらない場合を引くことにした。が・・・
答えは、260通り
◆東大生の解答
（番組では人をA,B・・品を1,2,・・としていたが、ここでは、
人を、Aさん、Bさん、・・とし、持ってきたプレゼントを、a , b , ・・とする。）
AさんがBさんのプレゼントbをもらい、BさんがAさんのプレゼントaをもらう場合、
残り４つを4人で分けることになり、（C , D , E , F ）さんにはそれぞれ、
( d , c , f , e ) ( d , e , f , c ) ( d , f , c , e )
( e , c , f , d ) ( e , f , c , d ) ( e , f , c , d )
( f , c , d , e ) ( f , e , c , d ) ( f , e , d , c ) と分けられ9通りある。 （*イ）
（※あとで解説に出てくるが、実はこれが4人の場合のモンモール数）
AさんがBさんのプレゼントbをもらい、BさんがCさんのプレゼントcをもらう場合、
残り４つを4人で分けることになり、（C , D , E , F ）さんにはそれぞれ、
( a , e , f , d ) ( a , f , d , e )
( d , a , f , e ) ( d , e , f , a ) ( d , f , a , e )
( e , a , f , d ) ( e , f , a , d ) ( e , f , d , a )
( f , a , d , e ) ( f , e , a , d ) ( f , e , d , a ) と分けられ11通りある （*ロ）
BさんがDさん、Eさん、Fさんのプレゼントをもらう場合も、
（*ロ）の場合と同様なので、都合11通りの4倍あることになる。
（※あとで解説に出てくるが、実はこれが5人の場合のモンモール数）
つまり、AさんがBさんのプレゼントbをもらうときは、
（*イ） + （*ロ） x 4 = 9 + 11 x 4 = 53 ・・・ (*ハ)
Aさんがもらうプレゼントは、b , c , d , e , f の５通りなので、
(*ハ) x 5 = 53 x 5 = 265 <<＝答え
正解は、265通り コマ大と東大生チームが正解である。
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先生の解説
交換の全ての場合の数は、マス北野の言ったとおり、６の階乗(６！)通りある。
６！＝ 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720通り
問題になっている、１番目が１に来ない、２番目が２に来ないというものを
完全数列という。
この完全順列の組数が今日の問題であり、それをモンモール数という。
そして、ｎ番目のモンモール数は、(ｎ-１)番目、(ｎ-2)番目のモンモール数から
求められます。
* --テロップ解説----------------------------------------------
*
* [ 順列 （重複順列） ]
* ｎ個の異なった要素から重複を許して
* ｍ個の要素を選び出した順列の総数
*
* [ 完全順列 ]
* １，２，３，・・・ｎ の順列で、各数の順番がその数と一つも一致しない順列
* 例） １，２，３，・・・・・・ｎ
* ３，１，２，・・・・・・ｍ （ｍ＜ｎ）
*
* ---------------------------------------------------------
完全順列で4人（Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄ）の場合を考える。 （東大生が途中で出した数）
ＡがＢ～Ｄのプレゼントをもらう ・・・ 3通り
その3通りの中で、ＡがＢのプレゼントをもらった時は、
* ＢはＡのプレゼントをもらった。
残るＣ、Ｄのプレゼントは、Ｃ、Ｄさんが交換するしかない。・・1通り
（2人の場合の数）
* Ｂは、もらったＡのプレゼントを、Ｃ、Ｄさんに渡してもいい。
これはＢ、Ｃ、Ｄさん3人で交換するのと同じで、さらにＣ，Ｄさんが
自分の物をもらわないとすると ・・２通り
（３人の場合の数）
すると、4人が誰も自分のプレゼントをもらわない場合の数は、
（ＡがＢ～Ｄのプレゼントをもらう場合の数）
ｘ ｛ （2人の場合の数） + （３人の場合の数） ｝
＝ ３ ｘ （ １ + ２ ） ＝ ９通り
（※ＡがＢ～Ｄのプレゼントをもらう場合の数、の"３"は、
4人の場合だから "（４-1）" と考えると後が楽）
同様に考えて表にしてみると、
人数（ｎ） | モンモール数 | 漸化式を解いた式で・・
-----------------------------------------------------------
1 | 0 |
-----------------------------------------------------------
2 | 1 |
-----------------------------------------------------------
3 | ( 3 - 1 ) x ( 1 + 0 ) = 2 | 3 x 1 - 1
-----------------------------------------------------------
4 | ( 4 - 1 ) x ( 1 + 2 ) = 9 | 4 x 2 + 1
-----------------------------------------------------------
5 | ( 5 - 1 ) x ( 2 + 9 ) = 44 | 5 x 9 - 1
-----------------------------------------------------------
6 | ( 6 - 1 ) x ( 9 + 44 ) = 265 | 6 x 44 + 1
: | : |
: | : |
: | : |
: | : |
n | ( n-1 ) x ( an-2 + an-1 ) = an | n x an-1 + (-1)^n
-----------------------------------------------------------
つまり、ｎ人の場合の数（モンモール数）は、
（ｎ-1）人の場合の数と、（ｎ-2）人の場合の数を足して、（自分以外）倍する。
* --テロップ解説----------------------------------------------
*
* ｎ人でプレゼント交換するとき、自分のプレゼントをもらわない公式
*
* an = ( n - 1 ) x ( an-1 + an-2 )
*
* 問題のように６人の時は、
* （自分以外） x ｛ （５人の場合の数） + （４人の場合の数） ｝
* = ５ x （ ４４ + 9 ） ＝ 265
*
* １つ前と、２つ前の数がわかればよい。
* ---------------------------------------------------------
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応用解説
では、問題のような場合がおこる確率はどれぐらいあるのだろうか。
ｎ人の場合を考える。
自分のプレゼントをもらう場合も入れた、全ての交換の場合の数は、
ｎの階乗通りある。 （ ｎ！と表わす ） すると・・
（ｎ人の場合のモンモール数）/（全ての交換の場合の数 ）
＝ an / n !
これは、次のように展開できる。
an / n ! = 1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! + ・・・・・ + (-1)^n x ( 1/ n ! )
ｎを無限大にすると、この式は 1/e になる。
(eは自然対数の底で、2.718282・・・・)
1 / 2.718282・・・・ = 約37％
３７％の確率で、一人もプレゼントがダブらない、ということになる。
（補足）
オイラーの公式、e^(iπ) = -1 を出して自然対数の底 e の説明があった。
映画「博士の愛した数式」に出てくる式だと、マス北野が話す場面あり。
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今週のフィールド賞：東大生チーム
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★あとがき
お世話になっている、ガスコン研究所さんの
「コマネチ大学数学科39講：モンモール問題」では、4人の場合の解説が
絵つきでわかりやすい、ので紹介します。 （戸部さんの絵も素敵！）
http://gascon.cocolog-nifty.com/blog/2007/02/39_7405.html
最後の解説で、テーラー展開された式の上に、組合せの式が入った表が
あったが、時間が無く、カットされたようだ。残念！
詳しい解説は、下に紹介したサイトにもあるので参照されたし。
モンモールについての情報も、ちょっと調べてみたものを幾つか紹介します。
※モンモール
pierre Raymond de Montmort、フランスの数学者
1678年10月27日パリ生まれ、1719年10月7日没
彼の名前は、最初はPierre RémondまたはRaymondだった。
彼の父は法律家にしたかったが、逆らってイギリスおよびドイツを旅して
1699年にフランスに戻る。そのとき父から莫大な遺産をもらう。
その財産でモルモートの城を買う。
その時pierre Raymond de Montmortと名乗るようになる。
１715年にイギリス Royal Society のフェロー。
１716年にフランスの科学アカデミーのメンバー。
パスカルの三角形の名づけ親とも言われている。
「ウィキペディア」 英文・モルモートの説明
http://en.wikipedia.org/wiki/Pierre_Raymond_de_Montmort
「ウィキペディア」 仏文・モンモール(モルモート)地名
http://fr.wikipedia.org/wiki/Montmort
※この問題は、トランプ13枚を用いた問題がモンモール氏の問題で、
一般的に知られている「封筒とりちがえ問題」は、
オイラーらの研究したものであるらしい。
「日常生活のモンモール」
http://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/jyugyo/suugaku18.html
※封筒とりちがえ問題で紹介しているサイト
「雑学の散策」
http://members.jcom.home.ne.jp/sansakuro/Digressions/Htm/Digr_037.htm
「Izumiの数学」
http://www.hcn.zaq.ne.jp/cabpf204/etcetera/math/exam/toukou/2004_1.html
「物理のかぎしっぽ数式掲示版」
http://hooktail.maxwell.jp/cgi-bin/yybbs/yybbs.cgi?room=room1&mode=res&no=14088&mode2=preview_pc
※応用問題としてモンモール問題を紹介しているサイト
「数学談話室」
http://www.edu.gunma-u.ac.jp/~seyama/math.html
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講師：中村亨
（1963年生まれ。東京大学大学院理学系研究科数学専攻修了、理学修士。）
解答者：
マス北野
木村美紀（東京大学薬学部3年）
松江由紀子（東京大学農学部3年）
コマネチ大学生
2007/02/22 深夜OA
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