えっ「1 = 0.999999 … 」？一緒に思索にふけってみよう！

こんにちは。大学で４年も数学を学んでしまった、講師の山本です。

私の名前を覚えてもらうために、もっと世界に2桁ほどしかいないようなレアな苗字だったら…と思います。知り合いにいるのですが、大宝院(約10人しか存在しない)とか。もうこれ両親、祖父母、兄弟で全員なんじゃないかと思いますけど。あぁ、最初にニックネームで名乗れば良かったのですかね…。

そんな話をしたいわけではなくて。

「えっ？！『 1 = 0.999999 ... 』？」

みなさんきっとこの理解し難い等式に興味を惹かれてしまいこのブログを開いたのではないでしょうか。

もしかしたら

「その式は嘘だ！こんな講師が働いている塾なんて潰れてしまえ！」

そんな風にありがた迷惑なことに思ってくださった方がいらっしゃるかもしれません。

どうどう。

大丈夫です、きっとこのブログを読んだ後、そんなあなたの価値観、考え方は一新されると思いますのでどうぞワクワクしながら読み進めてください…。

とりあえず証明

手っ取り早く理解するために、とりあえず証明を見てみましょうか。

＜0.999999…=1であることの証明＞

［証明］

　　　 $a_{1}=0.9,a_{2}=0.99,\cdot \cdot \cdot,a_{n}=0.99\cdot \cdot \cdot 9=1-\left(\frac{1}{10}\right)^{n}$

とすると、定義より、

　　　 $0.999\cdot \cdot \cdot=\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}=\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(1-\left(\frac{1}{10}\right)^{n}\right)=1.$

［証明終わり］

等比級数の和として計算してもOKです。

まあうん確かに式にすればそうですが…。式が正しいからと正論で無言の圧をかけられている気分です。

もしかしたら賢くかつ数学に精通している方でしたらこれで納得されるかもしれません。

ただし、このブログを開いていただいたということは、少なくとも「 1 = 0.999999 ... 」という式に疑問を持っているのではないかと思われます。

かくいう私も疑問を持ちまくりでした。

ここからは、私が感じた疑問と共に、あなたも思索の旅へ足を踏み入れていきませんか？

「あ、確かにそう言えるかも…」や「いやそれはこうなんじゃないか」といった私の考えとの同異にも注目してみると面白いかもしれません！

極限をとったとて、 " 限りなく近づく " だけであり、 " 等しい " とは言えないのでは？

最初、私は以下のように考えました。

確かに極限という概念を使えば、「 1 ＝ 0.999999 … 」という等式が成り立つことに納得せざるを得ません。
しかしながら、

　　　 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}=1$

という式は、「 $a_{n}$ 」つまり0.999999 … という無限小数が１に「限りなく近づく」だけであり、言葉で「 1 と 0.999999 … は等しい」ということはできないのではないのでしょうか。

以上より、極限を導入することにより「 1 = 0.999999 … 」と書けてしまう一方で、極限の「意味」を考えると「 1 と 0.999999 … 」は等しいとはいえません。(＊1)

しかしながら「＝」というのはそれで結ばれた「左辺と右辺の値が “ 等しい ” 」ということを表すため、「 1 = 0.99999 … 」は左辺と右辺が等しい、つまり「 1 と 0.999999 … は等しい」と極限を使うことにより言えてしまうのです。

ここで、（＊1）との矛盾が生じてしまいます。

ここでの混乱の原因は、「限りなく近づく」という言葉によって誤解が生まれていたことです。

極限の正確な意味

　　　 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}=1$

の意味は

　　　「 $n$ を大きくすると $a_{n}$ が１に限りなく近づく」

ではなく、より正確には

　　　「どんなに小さな $\varepsilon> 0$ をとっても、

ある $N$ が存在して $n> N$ ならば $|a_n-1| < \epsilon$ が成立する」

です。

例えば0.0001という非常に小さい数字をとってきても N = 4 とすれば n > N より n には 5 以上の数が入ります。

つまりは a_n には 0.99999 以上に 1 に近い値が入ることになります。

ゆえに、 a_n と 1 の差は最初に与えた 0.0001 という値よりも小さくなるよね、といったことを言っています。

0.999 … とは何か

また、 0.999 … は「近づいていく過程」ではなく

　　　 $0.999\cdot \cdot \cdot=\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}$

という極限そのものとして定義されます。

つまり 0.999 ... は既に到達した値であり、「近づいている途中」ではありません。

$0.999\cdot \cdot \cdot \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}=1$

「近づく過程」と「極限値」は別物です。 0.999 ... は極限値として定義された瞬間に 1 と等しいのです。

でも 1 と0.999999 ... ではそもそも一の位が違うじゃん

再び私はこんな疑問を持ちました。

> 0.999 ... は極限値として定義された瞬間に 1 と等しいのです。

それは極限の意味的にはそうですね。

しかし実際に 1 = 0.999999 ...とは言えないではありませんか？

なぜならそもそも一の位が違うのですから。

これに関する議論を進めるにあたり、「値」と「表記」という観点が重要になってきます。

「一の位が違う」という直感について

確かに見た目は

1 = 1.000 ...
0.999 ...

と異なって見えます。

しかし数学的には

2つの実数が等しくないならば、その間に必ず別の実数が存在します。

$a \neq b \Rightarrow \exists c \;s.t. \:a < c < b$

では 0.999... と 1 の間に存在する実数はありますか？

$0.999\cdot \cdot \cdot < c< 1$

となる c は存在しません。

したがって

2つの実数の間に何も存在しません。

「一の位が違う」のは表記の違いであり、値の違いではありません。

例えば 1 / 3 = 0.333 ... も見た目は全く違いますが等しいですよね。それと同じことです。

同じ実数が異なる小数表記を持つことがあるのですね。

0.99999 ... と 1 は連続なのか？

再び以下のような疑問を持ってしまいました。それと同時に、ある程度今回の等式に納得もしました。

0.999999 ... は「1には絶対くっつかない、一緒にならない」ということがやはり事実のように思えてしまいます。

しかしながら 1 と 0.999999 ... の間には数が存在しないんですよね。

つまり 0.999999 ... と 1 は連続なのですか。

そう考えると、「連続」と言われている時点で「隣」ということなので 1 と等しくないではないかと思ってしまいます。

しかし前のセクションで示した、数学における「実数が等しくないことの必要条件」より、0.999999 ... と 1 は「連続」つまりは「間に値が入らない」ということがえいるので、その必要条件を 1 と 0.999999 ... が満たさないことには納得です。

つまり、 1 = 0.999999 ... と示すことができることにも納得しました。

…連続って何でしょう？

「連続」という言葉について

0.999 ... と 1 の間に数が存在しないのは、「隣」だからではありません。そもそも、実数には「隣」という概念が存在しないためです。

整数であれば 1 の隣は 2 ですが、実数では任意の2点の間に必ず別の実数が存在します。ただし 0.999 ... と 1 は同じ点なので間に何もないのです。

数学旅の帰路にて

なるほど、数学上の定義では 1 = 0.999999 ... と表されてしまうんですね、感覚的には違っていたとしても。

はい、理解ができてしまいました、その等式を。感覚的には微妙ですが…。

そして、数学的に「＝」というのは右辺と左辺が等しいという意味ですから、「 1 と 0.999999 ... が等しい」ということも導かれますね。これは事実です。導かれてしまうんです。

今まで、先程までは、現実世界の、日常生活での感覚で議論してしまいましたが、これらの議論のフィールドは「数学」です。定義に忠実に、数学というフィールドに乗ることが大事なんですね。

「郷に入っては郷に従え」ということわざがあるように、高校生では三角比が導入されるが中学生ではその定義・概念が無いものとされるように…。

また、数学に限らず

物理学では日常の直感に反する量子力学
相対性理論では時間が伸び縮みする

など日常の感覚と異なる世界はたくさんあります。

その世界のルール（定義・公理）に従って議論することが、その分野を理解する第一歩なのでしょう。

えっ「1 = 0.999999 … 」？ 一緒に思索にふけってみよう！