22日の記事を少し書き直しました。
頂いたコメントも一緒にお引越ししてきました。
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余りの出る割り算なんて、小学校低学年の算数。
小数点をまだ知らない子どもたちの幼稚な算数。
いえいえ、そうとは言い切れません。
余りの世界もなかなか奥が深いものです。
ちょっと遊んでみたいと思います。
紙とえんぴつでカリカリやっても、めんどうだったら電卓をたたいても
しばしお付き合いいただければ幸いです。
小学生のいるご家庭の皆様
もしかしたらご家族でもり上がる…かもしれません。
5 を 7回かけて、21 で割った余りを求めます。
5×5×5×5×5×5×5 ＝ 78,125
78125 ÷ 21 ＝ 3720 … 5 ← 最初の数5 と同じ！
6 を 7回かけて、21 で割った余りは
6×6×6×6×6×6×6 ＝ 279,936
279936 ÷ 21 ＝13,330 … 6 ← 最初の数6 と同じ！
もっと大きな数、たとえば19 で試しても同じです。
19 を 7回かけて、21 で割った余りは
19×19×19×19×19×19×19 ＝ 893,871,739
893,871,739 ÷ 21 ＝42,565,320 … 19 ← 最初の数19 と同じ！
それ以外の数で試しても同じです。
テキトーな数を選んで 7 回かけて 21 で割った余りはその数と同じになります。
ただし、選ぶのは 21 より小さくなければいけません。
そして 0 よりは大きく、小数点のつかない、いわゆる 自然数で。
まだ試していないのは
1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20
信じていただけないかもしれませんが、どれを選んでも
7 回かけて 21 で割った余りは、もとの数と同じです。
この、7 と 21 のような数の組合せは、ほかにもたくさんあります。
っつうか無限にあります。
ただし、組み合わせ方にルールがあります。
素数をふたつ(テキトーに)選びます。
素数とは、1 とその数でしか割りきれない数です。
たとえば 3 は 1 と 3 でしか割りきれないので、素数です。
また 7 も 1 と 7 でしか割りきれないので、素数です。
ふたつの素数をかけます。
たとえば 3 × 7 ＝ 21
ふたつの素数から 1 を引きます。 たとえば
3 － 1 ＝ 2
7 － 1 ＝ 6
引き算したふたつの数の最小公倍数を求めます。たとえば
2 と 6 の最小公倍数は 6 です。
2 でも割りきれて 6 でも割りきれる、いちばん小さい数は 6 ですから。
最小公倍数に 1 を足して
6 ＋ 1 ＝ 7
これで完成です。
最初に出てきた 21 と 7 は
実はこのようにして組合せを決めたのでした。
で選ぶ素数を変えても、この性質は変わりません。
3 と 11 とか。 ( → 33 と 11 )
7 と 17 とか。 ( → 119 と 49 )
19 と 31 とか。 ( → 589 と 91) どうやって試すんだ
とにかく、素数がふたつあれば 21 と 7 のような組合せができます。
素数は無限にありますから、組合せも無限です。
可能性は無限大！
ちがうか。
必ずそうなるということも、きちんと証明されているそうです。
証明するのは、とっても難しいらしいので、パス。
スーパーコンピュータを長時間動しっぱなしで証明したとか。
スーパーコンピュータといっても、証明された当時のものですから
今のパソコンのほうが性能をうわまわっている、とも。
でも、パソコンがあっても証明する術を知らないし。
だから、不思議だなあと感動するだけ。
この性質を利用して、暗号を作る方法もあります。
簡単に作れて、しかも解読されにくい暗号です。
深いぞ余りの世界。あなどるべからず。
頂いたコメントも一緒にお引越ししてきました。
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余りの出る割り算なんて、小学校低学年の算数。
小数点をまだ知らない子どもたちの幼稚な算数。
いえいえ、そうとは言い切れません。
余りの世界もなかなか奥が深いものです。
ちょっと遊んでみたいと思います。
紙とえんぴつでカリカリやっても、めんどうだったら電卓をたたいても
しばしお付き合いいただければ幸いです。
小学生のいるご家庭の皆様
もしかしたらご家族でもり上がる…かもしれません。
5 を 7回かけて、21 で割った余りを求めます。
5×5×5×5×5×5×5 ＝ 78,125
78125 ÷ 21 ＝ 3720 … 5 ← 最初の数5 と同じ！
6 を 7回かけて、21 で割った余りは
6×6×6×6×6×6×6 ＝ 279,936
279936 ÷ 21 ＝13,330 … 6 ← 最初の数6 と同じ！
もっと大きな数、たとえば19 で試しても同じです。
19 を 7回かけて、21 で割った余りは
19×19×19×19×19×19×19 ＝ 893,871,739
893,871,739 ÷ 21 ＝42,565,320 … 19 ← 最初の数19 と同じ！
それ以外の数で試しても同じです。
テキトーな数を選んで 7 回かけて 21 で割った余りはその数と同じになります。
ただし、選ぶのは 21 より小さくなければいけません。
そして 0 よりは大きく、小数点のつかない、いわゆる 自然数で。
まだ試していないのは
1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20
信じていただけないかもしれませんが、どれを選んでも
7 回かけて 21 で割った余りは、もとの数と同じです。
この、7 と 21 のような数の組合せは、ほかにもたくさんあります。
っつうか無限にあります。
ただし、組み合わせ方にルールがあります。
素数をふたつ(テキトーに)選びます。素数とは、1 とその数でしか割りきれない数です。
たとえば 3 は 1 と 3 でしか割りきれないので、素数です。
また 7 も 1 と 7 でしか割りきれないので、素数です。
ふたつの素数をかけます。たとえば 3 × 7 ＝ 21
ふたつの素数から 1 を引きます。 たとえば3 － 1 ＝ 2
7 － 1 ＝ 6
引き算したふたつの数の最小公倍数を求めます。たとえば2 と 6 の最小公倍数は 6 です。
2 でも割りきれて 6 でも割りきれる、いちばん小さい数は 6 ですから。
最小公倍数に 1 を足して6 ＋ 1 ＝ 7
これで完成です。
最初に出てきた 21 と 7 は
実はこのようにして組合せを決めたのでした。
で選ぶ素数を変えても、この性質は変わりません。3 と 11 とか。 ( → 33 と 11 )
7 と 17 とか。 ( → 119 と 49 )
19 と 31 とか。 ( → 589 と 91) どうやって試すんだ
とにかく、素数がふたつあれば 21 と 7 のような組合せができます。
素数は無限にありますから、組合せも無限です。
可能性は無限大！
ちがうか。
必ずそうなるということも、きちんと証明されているそうです。
証明するのは、とっても難しいらしいので、パス。
スーパーコンピュータを長時間動しっぱなしで証明したとか。
スーパーコンピュータといっても、証明された当時のものですから
今のパソコンのほうが性能をうわまわっている、とも。
でも、パソコンがあっても証明する術を知らないし。
だから、不思議だなあと感動するだけ。
この性質を利用して、暗号を作る方法もあります。
簡単に作れて、しかも解読されにくい暗号です。
深いぞ余りの世界。あなどるべからず。