おすすめの参考書とか書いてたけど古い情報をいつまでも言っててもしょうがないので消した。
・有理関数の積分
有理関数の不定積分は必ず求められる。ちょっと調べればたくさん出てくるので、そちらを見て欲しい。高校数学で教えないのは、多分高校数学だと1/(1+x^2)の原始関数が書けない(tanの逆関数なので書けなくは無いんだけどなぁ)から。これくらい意欲のある高校生にはなんてことないでしょう。
・命題論理、述語論理
意欲のある高校生が大学数学をやりたいと思ったときにできて、かつ受験にも役立つようなこと。∨∧→¬と∀∃。高校数学でもやる(ていうか、人間が生きる以上やってるのか)が、改めて見つめ直してみよう。論理の練習帳という本がいいみたいです。
・同値変形
これは多少訓練が要る。訓練が必要な分、差がつく。
結局入試というのは相対評価なのだから、勝つには差がつく分野をできるようにするしかない。
今年(2021。しかしこんなブログを後で見にくる方が居るのかはわからない。)の東大理系数学大問1のような問題がスラスラ出来ることが望ましい。難しい問題では無いが、差は付いただろう。(難しい問題ではないこと、が重要なのだ。本当に難しい問題は誰も解けないが、これくらいの問題なら苦労せず解くことができる人間はごまんといる。)
一般論。例えば(x,y)∈D(⊂ℝ^2)⇔...⇔f(x,y)=0として、Dは(f(x,y)=0が表す図形)です。と答える。これに「∃」がつくと少々面倒で、受験業界が飯の種にしている。
・積分は
微分は積の微分と合成関数の微分(商の微分は席と合成関数の組み合わせだ。私は覚えているが。)さえ知っていればオートマチックだったが、積分はそうはいかず、試行錯誤する必要がある。と言ってもやることは限られている。積の微分、合成関数の微分にそれぞれ対応する技であるところの、部分積分、置換積分だ。その前に、基本的な関数の原始関数を暗記することは大前提だが。
・n項間漸化式
大学に行ったらちょっと見方が変わる。とは言ってもn=3までわかっていれば怖くない。3項間漸化式の一般項も、ある一定のレベルの受験生なら寝てても出来るタイプのもので、従って遅れをとるわけにはいかない。連立漸化式と合わせてしっかりと。
・直線の方程式
ax+by+cz=(一定)という式。図形的にイメージできるでしょうか。ピンと来てない場合は左辺を内積と見てみましょう。
・確率
苦手な人はとことん苦手。シリーズ。確率は神様の学問;人間には区別できないものを区別する。
1対1対応の演習 数学Aをお勧めします。数学Aはどの分野も多少訓練しておく必要がある。しかし高級な内容ではないので、(高校生活の)早いうちにひと通りマスターしておく方が身のためです。。
「ハッと目覚める確率」もいいみたい。