一定規模以上の災害が発生した場合、災害救助法による救助が定められています。
国が地方自治体や日本赤十字社、国民の協力を得て実施するものです。
災害救助法による救助は、都道府県知事が行います。
災害救助法の費用は、都道府県が支払うことが原則で、国はその費用について所定の計算による一定額(1/2以上)を負担します。
福祉避難所についても、これに基づいて実施されているようです。

長文になりますが、以下に、その根拠をあげてみます。

■■■災害救助法
http://www.houko.com/00/01/S22/118.HTM

第2章 救 助
第22条 都道府県知事は、救助の万全を期するため、常に、必要な計画の樹立、強力な救助組織の確立並びに労務、施設、設備、物資及び資金の整備に努めなければならない。

第3章 費 用
第33条 第23条の規定による救助に要する費用(救助の事務を行うのに必要な費用を含む。)は、救助の行われた地の都道府県が、これを支弁する。

第36条 国庫は、都道府県が第33条の規定により支弁した費用及び第34条の規定による補償に要した費用(前条の規定により求償することができるものを除く。)並びに前条の規定による求償に対する支払に要した費用の合計額が政令で定める額以上となる場合において、当該合計額が、地方税法(昭和25年法律第226号)に定める当該都道府県普通税を除く。以下同じ。)について同法第1条第1項第5号にう標準税率(標準税率の定めのない地方税については、同法に定める税率とする。)をもつて算定した当該年度の収入見込額(以下この条において「収入見込額」という。)の100分の2以下であるときにあつては当該合計額についてその100分の50を負担するものとし、収入見込額の100分の2をこえるときにあつては左の区分に従つて負担するものとする。この場合において、収入見込額の算定方法については、地方交付税法(昭和25年法律第211号)第14条の定めるとする。
1.収入見込額の100分の2以下の部分については、その額の100分の50
2.収入見込額の100分の2をこえ、100分の4以下の部分については、その額の100分の80
3.収入見込額の100分の4をこえる部分については、その額の100分の90

■■■福祉避難所の基準等
http://www.bousai.go.jp/oshirase/h19/070316giji/shiryou_1.pdf

■大規模災害における応急救助の指針について(厚生省H9.6通知)
第3-3
(3)福祉避難所の指定
ア 要援護者(社会福祉施設等に緊急入所する者を除く。以下(3)、(4)及び(5)において同じ)が、相談等の必要な生活支援が受けられるなど、安心して生活ができる体制を整備した福祉避難所を指定しておくこと。
イ 福祉避難所として指定する施設は、原則として耐震、耐火、鉄筋構造を備え、物理的障壁の除去(バリアフリー化)された老人福祉センター等の施設とすること。

■災害救助法による救助の程度、方法及び期間並びに実費弁償の基準(抄)
(平成十二年三月三十一日)
(厚生省告示第百四十四号)
第2条 法第23 条第1項第1号の収容施設(応急仮設住宅を含む。)の供与は、次の各号
に掲げる施設ごとに、当該各号に定めるところにより行うこととする。
1 避難所
ハ 避難所の設置のため支出できる費用は、避難所の設置、維持及び管理のための賃金職員等雇上費、消耗器材費、建物の使用謝金、器物の使用謝金、借上費又は購入費、光熱水費並びに仮設便所等の設置費として、100 人1日当たり30,000 円(冬季(10 月から3月までの期間をいう。以下同じ。)については、別に定める額を加算した額)の範囲内とすること。ただし、福祉避難所(高齢者、障害者等(以下「高齢者等」という。)であって避難所での生活において特別な配慮を必要とするものを収容する避難所をいう。以下同じ。)を設置した場合は、当該地域において当該特別な配慮のために必要な通常の実費を加算することができること。

■災害救助法による救助の実施について(抜粋)
昭和40 年5月11 日 社施第99号
各都道府県知事宛 厚生省社会局長通知
最終改正 平成13 年7月25 日 社援発第1286 号

第5 救助の程度、方法及び期間に関する事項
2 救助の種類別留意事項
(1)収容施設の供与
(ウ)避難所設置のために支出できる費用には、テレビ・ラジオ・公衆電話、公衆ファクシミリ、懐中電灯、仮設便所、仮設風呂、仮設洗濯場(洗濯機、乾燥機を含む。)、簡易調理室、冷暖房機器、仮設スロープ、更衣及びプライバシー確保に必要な間仕切り設備等の機械、器具、備品、仮設設備等の整備に要する費用を含むものであること。
(オ)「福祉避難所」の対象者は、身体等の状況が特別養護老人ホーム又は老人短期入所施設等へ入所するに至らない程度の者であって、「避難所」での生活において特別な配慮を要する者であること。
また、「福祉避難所」における特別な配慮のために必要となる費用とは、概ね10 人の対象者に1人の相談等に当たる介助員等を配置するための費用、高齢者、障害者等に配慮した簡易便器等の器物の費用及びその他日常生活上の支援を行うために必要な消耗器材の費用とすること。

(サイトより引用)
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