「道劇」は「道頓堀劇場」の略です。
って、
あまりにも、そっけない答えで、すみません(笑)
で、もう一つ、
「道玄坂（東京）に在るのに、なぜ道頓堀（大阪）なの？」と言う、当然の疑問にも答えましょう(笑)
1970年１月、道頓堀劇場が開業しましたが、その名称について、次のような話が伝わっています。
当初「道玄坂劇場」と注文したものが、業者の手違いから「道頓堀劇場」との看板が取り付けられてしまい、取り換える時間もなくて、そのままになってしまたと…。
笑っちゃいますね。
もしかしたら、最初から「道頓堀」だったのかも知れません。
当時ストリップには、出し物により、一般的な東京ストリップ（ＴＳ）系と、ＳＭショーや本番ショーなど過激な大阪ストリップ（ＯＳ）系とあったそうで、開業した道劇が、過激なＯＳ系であったことを考えると、最初から大阪の地名である「道頓堀」と付けることで、暗にＯＳ系であることをアピールしたのかも知れません(笑)
その後、一旦閉館、再開を経て、現在は、渋谷道頓堀劇場と札幌道頓堀劇場の二つの劇場があり、それぞれ「渋谷道劇」「札幌道劇」とよばれ、
さらに省略されて「渋道」「札道」と呼ばれることもあります。